Jump to the article here.
J.Konstapel,Leiden, 22-10-2026.
Aanleiding: Vidi-beurs voor elf onderzoekers van de Universiteit Leide
Dit essay bundelt veertig jaar supergeleidersonderzoek uit één laboratorium in Leiden. Twee namen staan centraal. Jan Aarts begon met vortexitroosters, ferromagnetische hybrides en de eerste π-junctie. Zijn voormalige student Kaveh Lahabi zette de lijn voort met schijven, ringen en een kagome-supergeleider.
Lahabi heeft onlangs een Vidi-subsidie ontvangen. Daarmee brengt hij in beeld hoe de collectieve supergeleidingsgolf stroomt.
De resultaten vertonen één patroon. De superstroom vult het materiaal niet gelijkmatig. Hij loopt daar waar een kwantumfase in zichzelf terugkeert. Om een vortexkern. Langs de rand van een schijf. Over een paar domeinwanden. Door een netwerk van filamenten.
De theorie van het Vacuum.Net vertrekt vanuit die ene voorwaarde. De kern is eenvoudig: alleen wat in fase terugkeert, blijft bestaan. Dit essay zet de Leidse metingen naast die regel. Vier resultaten volgen er rechtstreeks uit. Ten eerste: de halfkwantumfluxoïde bestaat uit twee halve slagen. Ten tweede: domeinwanden op een ring gaan altijd in paren. Ten derde: de π-junctie doorloopt de tekenreeks +, 0, −. Ten vierde: het kagome-rooster draagt exact één vrije trit aan gesloten configuraties per eenheidscel.
1. De sluitingsregel in het kort
De theorie gebruikt één beeld. Zie een visnet in water. Eén draad loopt overal en kruist zichzelf. Knopen ontstaan waar draden om elkaar winden. Mazen liggen tussen de draden. Vier woorden dragen het hele model: draad, winding, knoop, maas.
Op elke kruising heeft de draad één van drie toestanden. Dat zijn +1, 0 en −1. De theorie noemt deze eenheid een trit. Drie kruisingen op een rij vormen een venster. Een venster is gesloten wanneer de drie waarden samen nul opleveren, geteld modulo 3. Een open venster draagt spanning. Alleen wat sluit, blijft.
Drie toestanden op drie plaatsen geven 27 mogelijke vensters. Negen daarvan sluiten. Drie hebben gelijke waarden: (+, +, +), (0, 0, 0) en (−, −, −). Zes hebben drie verschillende waarden, in elke volgorde van (−, 0, +). De overige 18 blijven open.
De gesloten ring verdient nadere aandacht. Een ring van drie verschillende waarden heeft geen beginpunt. Zes volgordes gedeeld door drie rotaties geven twee afzonderlijke ringen. De linkerring loopt − → 0 → +. De rechtering loopt + → 0 → −. Ze zijn spiegelbeelden.
Leg nu een linkerring tegen een rechtering. De reeks luidt: −, 0, +, +, 0, −. Twee van de vier vensters sluiten. Twee blijven open. De naad tussen de ringen levert altijd precies twee open vensters op. Open vensters komen in paren. Dit gegeven keert in de hele natuurkunde terug.
Geef elke trit een fase van 120°. Een venster draagt dan een totaalfase gelijk aan de som maal 120°. Een som van 0 of ±3 geeft een heel aantal slagen. Een som van ±1 of ±2 doet dat niet. Het gesloten venster is dus de voorwaarde dat de fase in zichzelf terugkeert. Dat is exact de voorwaarde die de magnetische flux in een supergeleidende ring kwantiseert.
Twee uitspraken vervolledigen de regel. Eén: nul is geen rust. Nul is de ontmoeting van een handeling met haar spiegel: +1 en −1 samen. Twee: er zijn twee wegen naar nul. De ene is ontmoeting, waarbij twee tegengestelde waarden elkaar opheffen. De andere is rondgang, waarbij drie gelijke stappen een slag voltooien.
2. De ring: fluxoïdekwantisatie als sluiting
Een supergeleidende ring draagt één condensaatgolffunctie. Na één volle ronde over de ring moet de fase op zijn beginwaarde terugkeren. De fasewinding is daarom 2πn, met n een geheel getal. De ingesloten fluxoïde is gekwantiseerd:
Φ′ = n · Φ₀, waarbij Φ₀ = h/2e = 2,0678 × 10⁻¹⁵ Wb.
Vlak bij de kritieke temperatuur oscilleert de vrije energie van de ring met de aangelegde magnetische flux. De overgangstemperatuur en de weerstand volgen die oscillaties. Dit zijn de Little–Parks-oscillaties.
De rekenkunde is kort. Neem een ring met een binnenoppervlak van 0,96 µm². De veldperiode is:
ΔB = Φ₀ / A = 2,0678 × 10⁻¹⁵ / (0,96 × 10⁻¹²) ≈ 2,15 mT.
In de termen van het net is de ring één winding. Het kwantumgetal n is zijn adres. Een toestand die niet in fase sluit, bestaat niet. De regel is dezelfde als de sluitingsregel. Alleen de notatie verschilt.
3. De halfkwantumfluxoïde: twee halve slagen
Strontiumruthenaat, Sr₂RuO₄, is de belangrijkste kandidaat voor een triplet-supergeleider met gelijke spin. In 2017 frezen Yasui, Lahabi, Aarts, Maeno en collega’s microringen uit enkelkristallen van dit materiaal. Ze maten zuivere Little–Parks-oscillaties. Met een extra magneetveld in het vlak splitsten de pieken. Ze lazen de splitsing als de halfkwantumfluxoïde.
De telling is kort. In een triplettoestand met gelijke spin heeft de ordeparameter twee componenten:
Ψ = Δ (e^{iθ↑} |↑↑⟩ + e^{iθ↓} |↓↓⟩).
Elke component moet op zichzelf éénduidig zijn. rond de ring wint de fase θ↑ met 2π·m↑. De fase θ↓ wint met 2π·m↓. De gehele getallen m↑ en m↓ hoeven niet gelijk te zijn. De fluxoïde volgt de gemiddelde ladingfase:
n′ = (m↑ + m↓) / 2.
Neem m↑ = 1 en m↓ = 0. Dan is n′ = ½. De ladingfase wint een halve slag. De spinas draait de andere helft. Samen vormen ze één hele slag.
De sluitingsregel geeft dit een directe lezing. Eén slag van een halfgeheel getal is maar een halve sluiting. Een volledige sluiting vraagt een tweede helft. De halfkwantumfluxoïde laat precies die structuur zien: half in lading, half in spin, en alleen gesloten als paar. Het experiment bevestigt dat halfsluitingen in de natuur voorkomen — en altijd in paren verschijnen.
4. Spontane juncties: wanden komen in paren
Sr₂RuO₄ is ook een kandidaat-chirale supergeleider. De ordeparameter kan links- of rechtsdraaiend zijn. Domeinen met tegengestelde chiraliteit kunnen naast elkaar bestaan. Op de wand tussen twee domeinen is het condensaat onderdrukt. Zo’n wand kan als een intrinsieke Josephson-junctie werken.
In 2020 rapporteerden Yasui, Lahabi en collega’s een opvallende vondst. Ze vonden zulke juncties in ringen die volledig homogeen waren. Niemand had ze gefabriceerd. Ringen met een scherpe overgang bij 1,5 K toonden kritische-stroomoscillaties met de periode van één fluxkwantum. Ze gedroegen zich als een dc-SQUID met twee juncties. Ringen met een brede overgang rond 3 K toonden geen juncties. Alleen gewone Little–Parks-oscillaties. Simulaties van de ordeparameter plaatsten stabiele domeinwanden over beide armen van de ring.
Een pariteitstelling legelt het aantal wanden. Chiraliteit heeft twee waarden. Elke wand keert die om. Een pad rond de ring moet terugkeren bij zijn beginchiraliteit. Het moet dus een even aantal wanden kruisen. Het kleinste niet-nul even getal is twee.
De telling klopt exact met de meting: twee juncties, of geen. Ze klopt ook met de naad uit paragraaf 1. Een linkerring tegen een rechtering geeft twee open vensters. Ze komen als paar. In de Leidse ringen verscheen dat paar als twee juncties die niemand had gemaakt. Het pariteitsargument maakt hun koppeling onvermijdelijk. Het experiment bevestigde die.
5. De π-junctie: één component, drie toestanden
In 2001 rapporteerden Ryazanov, Oboznov, Rusanov, Veretennikov, Golubov en Aarts de eerste π-junctie. Het apparaat bestond uit niobium-elektroden en een ferromagnetische laag van Cu₀,₄₈Ni₀,₅₂, ongeveer 22 nm dik.
Tijdens het afkoelen zakte de kritieke stroom naar nul en steeg daarna weer. De auteurs toonden aan dat de koppeling van teken wisselt. Boven het omslagpunt is de junctie in de 0-toestand. Eronder is hij in de π-toestand. De omslag ligt waar de thermische energie en de exchange-energie van dezelfde orde zijn.
Schrijf de kritieke stroom met zijn teken. Bij het afkoelen verloopt hij:
+Ic → 0 → −Ic.
De koppeling doorloopt alle drie de tritwaarden: +, 0 en −. De nul is geen derde fase van de junctie. Het is het punt waar 0-koppeling en π-koppeling elkaar ontmoeten en opheffen. Dat is de definitie van nul in het net: een handeling die haar spiegel ontmoet.
De π-toestand zelf is een halve slag. Over de junctie springt de fase met π. Dit is de derde verschijning van hetzelfde object in het Leidse werk. De halfkwantumfluxoïde uit paragraaf 3 is één instantie. De chirale domeinwand uit paragraaf 4 is de tweede. De π-koppeling is de derde. Eén meetkundig motief — de halve slag die een partner nodig heeft — keert terug in drie zeer verschillende apparaten.
6. Domeinwanden: sluiting door verschil
Een ferromagnet onderdrukt supergeleiding via zijn exchangeveld. In een gelijkmatig gemagnetiseerde laag wijst dat veld één kant op. Het paarbrekende effect is dan sterk. Maar in 2004 onderzochten Rusanov, Hesselberth, Aarts en Buzdin niobium op permalloy. Ze vonden een duidelijke versterking van supergeleiding in een smal veldvenster van ongeveer 0,5 mT. In dat venster schakelt het permalloy en bestaan er vele magnetische domeinen naast elkaar.
Hun verklaring richtte zich op de domeinwanden. Binnen een wand proeft een Cooperpaar vele magnetisatierichtingen tegelijk. De paarbrekende effecten middelen deels uit. De voorwaarde is meetkundig. De breedte van de wand moet overeenkomen met de coherentielengte: δw ≈ ξS(T). In micro gestructureerde monsters zonder wanden bleef het effect uit.
De sluitingsregel heeft een passende structuur. Er zijn twee soorten gesloten vensters. De ene bevat drie gelijke waarden. De andere bevat drie verschillende. Een gelijkmatige magneet is een venster van één waarde: het draagt spanning. Een domeinwand biedt verschillende richtingen binnen één coherenti lengte. Het Cooperpaar ziet dan een venster dat sluit door verschil.
De passing is streng. De wand moet het formaat van het paar hebben. Dit is selectie door passing. Wat past, keert in fase terug. Wat niet past, verstrooit. Het experiment mat precies waar die passing rendeert — en waar zij verdwijnt.
7. De rand selecteert
Gedurende dertig jaar vond de Leidse groep één consistent resultaat. De grens bepaalt waar supergeleiding leeft.
- 1991. Maj en Aarts toonden dat in een Nb/NbZr-meerlaag de buitenste lagen het parallèle kritieke veld bepalen.
- 2017. Lahabi en collega’s bouwden een schijfvormige Josephson-junctie met een ferromagnetische vortex. De superstroom splitste in twee kanalen. Een klein veld verplaatste de vortex — en daarmee de stroom.
- 2022. In Nb/Co-schijven liep de triplet-supersroom op lange afstand in smalle kanalen langs de rand, smaller dan 80 nm. De grens tussen supergeleider en vacuüm speelde een centrale rol. Door de spintextuur te veranderen verschenen 0- en π-kanalen in één apparaat.
- 2024. Met het halfmetaal La₀,₇Sr₀,₃MnO₃ bleef de triplet-stroom beperkt tot de rand van schijven. In staafjes was hij gelijkmatig. De randstroom hoorde bij de schijfmeetkunde, niet bij het mechanisme dat de tripletten opwekte.
De lezing is kort. Een gesloten rand is één winding. De schijf biedt een pad dat in zichzelf terugkeert. De staaf doet dat niet. De stroom neemt het pad dat sluit.
Uit hetzelfde beginsel volgt een geheugenelement. In 2022 bouwden Fermin, Scheinowitz, Aarts en Lahabi een elliptische junctie. Een puls van 40 mT schakelt het apparaat tussen twee stabiele texturen: gelijkmatige magnetisatie, of een paar vortices. Elke textuur geeft een andere kritieke stroom. Elke textuur is een gesloten configuratie met een eigen adres. Schrijven betekent: de toestand van het medium veranderen. De configuratie houdt daarna stand zonder voeding. Dat is het derde axioma van de sluitingsregel in hardware: wat gesloten is, draagt geheugen.
8. Het vortexitrooster: een net van windingen
In een type-II-supergeleider trekt magnetische flux binnen als vortices. Elke vortex draagt één fluxkwant. Rond zijn kern wint de fase met 2π. Elke vortex is één gesloten winding. De vortices ordenen zich in een driehoekig rooster met mazen ertussen. Van alle structuren in de gecondenseerde materie is dit de meest letterlijke afbeelding van het net.
In 1999 beeldden Troyanovski, Aarts en Kes dit rooster af met scanningtunnelmicroscopie bij hoge fluxdichtheden. Twee resultaten vallen op.
Eén: met sterke lijndefecten blijft het rooster vastgepind tot er ongeveer twee keer zoveel vortices als defecten zijn. Daarboven begint plastische kruip. Het rooster vloeit om zijn pinplaatsen heen.
Twee: met zwakke puntverstoring kruipen de vortices coërent langs een hoofdas van het rooster. Hun snelheid moduleert met de roosterperiode. Elke vortex beweegt in het ritme van het hele rooster.
Het tweede resultaat illustreert het vierde axioma van het net. De reactie van een winding is een functie van de toestand van haar omgeving. Hier volgt de snelheid van elke vortex de periode van het rooster waartoe hij behoort. Het net beweegt als één lichaam.
9. De kagome-supergeleider: een netwerk van vensters
9.1 De metingen
Het kagome-rooster is een netwerk van driehoeken die hoeken delen. Elke driehoek is een groep van drie posities. In de kagome-supergeleider CsV₃Sb₅ vond de groep van Lahabi twee grote resultaten.
Eén: een ongestructureerd vlokje bevat zijn eigen netwerk van Josephson-juncties. Blom, Rog en collega’s rapporteerden dit in 2026. Het netwerk ontstaat onder de kritieke temperatuur. Het toont gekwantiseerde Schapiro-stappen. Het overleeft nanostructurering en thermische kringen. Niemand heeft het gefabriceerd.
Twee: een SQUID-microscoop beeldt het netwerk rechtstreeks af. Rog, Blom en collega’s rapporteerden dit in 2026. Smalle superstroomkanalen verschijnen bij de kritieke temperatuur. Ze blijven stabiel bij alle temperaturen en stromen. Hun niet-lineaire respons past bij juncties die verbonden zijn door filamenten. Het netwerk is sterk bij lichte tin-dotering (x = 0,03). In ongedoteerde vlokken is het veel zwakker.
Het netwerk verklaart verschillende anomalieën die voor deze materiaalfamilie gerapporteerd zijn. Het verklaart de intrinsieke juncties, de paren met hogere lading en een supergeleidings-diodeffect zonder aangelegd veld.
9.2 De sluitingsregel op het rooster
Het kagome-rooster nodigt uit tot een exacte telling. Neem een periodiek kagome-rooster van L × L eenheidscellen. Elke cel bevat 3 posities en 2 driehoeken: één omhoog, één omlaag. Het rooster heeft N = 3L² posities en 2L² driehoeken.
Plaats een trit op elke positie. Eis dat elke driehoek sluit: de som van de drie trits moet 0 zijn modulo 3. Elke driehoek geeft één lineaire vergelijking over het eindige lichaam GF(3).
Tel de oplossingen. Elke positie behoort tot exact één omhoog-driehoek en één omlaag-driehoek. De som van alle omhoog-vergelijkingen is daarom gelijk aan de som van alle omlaag-vergelijkingen. Dat is één afhankelijkheid. Directe berekening met Gauss-eliminatie over GF(3) geeft de rang voor L = 2, 3, 4 en 6:
| L | Posities | Driehoeken | Rang | Vrije trits |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 12 | 8 | 7 | 5 |
| 3 | 27 | 18 | 17 | 10 |
| 4 | 48 | 32 | 31 | 17 |
| 6 | 108 | 72 | 71 | 37 |
De rang is 2L² − 1. Het aantal vrije trits is 3L² − (2L² − 1) = L² + 1.
Het resultaat is helder. De sluitingsregel laat exact één vrije trit per eenheidscel over. Elke eenheidscel draagt daarmee drie gesloten configuraties.
9.3 Alleen ringen
Beperk nu de telling tot ringen. Elke driehoek moet drie verschillende waarden dragen. Dit is het probleem van het inkleuren van de kagome-posities met drie kleuren, zo dat elke driehoek alle drie toont. Het is gelijkwaardig aan het inkleuren van de randen van het honingraatrooster. Baxter loste dit exact op in 1970. Het aantal toestanden per honingraat-eenheidscel is:
W² = ∏(k ≥ 1) (3k − 1)² / [(3k)(3k − 2)] = 1,4610.
Een transfermatrixtelling op stroken van breedte 4 tot 10 convergeert naar dezelfde waarde (1,414; 1,587; 1,482; 1,459 per cel). Eén honingraatcel beantwoordt aan één kagome-cel.
Ringvormige vensters vullen dus 1,461 van de 3 toestanden per cel: ongeveer 49%. De rest wordt gedragen door vensters met gelijke waarden.
9.4 De lezing
Het rooster heeft al de vorm van het net. Elke driehoek is een venster. De filamenten liggen waar de vensters langs een pad sluiten. De juncties zijn de open vensters ertussen.
Het netwerk heeft lichte dotering nodig om volledig te verschijnen. Dat is het vierde axioma: de reactie hangt af van de toestand van het medium. De juncties overleven thermische kringen en nanostructurering. Dat is het derde axioma: gesloten configuraties behouden hun vorm.
9.5 Hogere lading: 4e en 6e
In 2024 maten Ge en collega’s ringen van CsV₃Sb₅. Bij lage temperatuur was de fluxperiode h/2e. Bij opwarming werd dat h/4e. Vlak bij het begin van de supergeleiding werd het h/6e. In grotere ringen verscheen h/4e niet. De periode liep van h/2e rechtstreeks naar h/6e.
Voor de ring van 0,96 µm² zijn de perioden:
- h/2e: 2,15 mT
- h/4e: 1,08 mT
- h/6e: 0,72 mT
De sluitingsregel biedt een lezing. Geef elk Cooperpaar een fasestap van 120°. Drie paren sluiten dan op dezelfde twee manieren als een venster. Of ze dragen 0°, 120° en 240° — de ring. Of ze nemen drie gelijke stappen — de rondgang. Een lading van 6e is een venster van drie paren. Een lading van 4e is de ontmoeting van twee. Welke sluiting bij welke ringgrootte optreedt, is een telling die nog openstaat.
10. Mozaïek, grensvlak en de eerste zware fermion
Drie oudere lijnen in het werk van Aarts vervolledigen het beeld.
Manganieten. In 1999 beeldden Fäth, Freisem, Menovsky, Tomioka, Aarts en Mydosh een gedoteerd manganiet af met tunnelpectroscopie. Metallische en isolerende gebieden bestonden naast elkaar op submicronschaal. De textuur overleefde velden tot 9 tesla. De overgang gebeurt niet gelijkmatig. Gesloten gebieden groeien tot zij verbonden zijn. In het net liggen open en gesloten mazen naast elkaar, en het patroon behoudt zijn vorm.
Oxide-grensvlakken. LaAlO₃ en SrTiO₃ zijn beide isolatoren. Hun grensvlak geleidt. De groep van Aarts groeide zulke grensvlakken door sputteren en onderzocht hoe elektronen daar vastzitten. Twee lagen die niet geleiden, dragen een derde die dat wel doet. In de oudste vorm van de theorie is dit wederzijdse ondersteuning: twee dingen die ontstaan zijn, dragen het volgende.
CeCu₂Si₂. In 1979 rapporteerden Steglich, Aarts en collega’s supergeleiding in CeCu₂Si₂. Het was de eerste niet-conventionele supergeleider. Hij ontstaat uit zware quasipartikelen te midden van sterk magnetisme, met een kritieke temperatuur van 0,7 K. Roostervibraties verklaren hem niet. In het net is ook geen externe bindende factor nodig. Wat in fase terugkeert, blijft.
11. Richting: de open vraag
Het register van het net noteert sommen. Maar twee volgordes met dezelfde som kunnen toch verschillen. Een reeks die naar sluiting loopt, is niet hetzelfde als een die er vandaan loopt. De theorie heeft daarom een grootheid nodig die volgorde registreert, niet alleen totalen.
CsV₃Sb₅ biedt de zuiverste laboratoriumtest. Het materiaal toont een supergeleidings-diode-effect zonder aangelegd veld. De kritieke stroom hangt af van de richting. De som is gelijk. De respons is dat niet. Dit is de meest directe plaats om naar die ontbrekende grootheid te zoeken.
12. Waar de telling doorgaat
Ringen van drie en zes. Het net telt dat een ring van drie verschillende waarden niet met één positie kan groeien. Hij groeit met drie, naar zes. Een ring van zes splitst in twee ringen van drie. De Leidse groep freest ringen uit enkelkristallen, drukt juncties met een elektronenbundel en werkt in een materiaal wiens rooster uit driehoeken en zeshoeken bestaat. De telling kan op een chip.
De vorm van nul. In het net is nul een ontmoeting, geen toestand. In een π-junctie moet het omslagpunt dan één punt zijn waar de kritieke stroom nul raakt, geen interval. De gepubliceerde Ic(T)-kromsten staan die telling toe.
Het kagome-getal. Eén vrije trit per cel is een berekende eigenschap van de sluitingsregel. De SQUID-microscoop ziet welke paden sluiten. De volgende stap is: de gemeten dichtheid van gesloten paden vergelijken met de telling uit paragraaf 9.
De Vidi-microscoop. Het nieuwe project van Lahabi wil in beeld brengen hoe de collectieve golf van een kwantummateriaal stroomt. Dat is een rechtstreeks beeld van waar de sluiting ligt.
13. Methode en status
Elk getal in dit essay is herberekend. De fluxperioden volgen uit h/Qe gedeeld door het ringoppervlak. De halfkwantumfluxoïde volgt uit éénduidigheid per spincomponent. De wandpariteit volgt uit de tweetallige chiraliteit. De kagome-rang is berekend met Gauss-eliminatie over GF(3) voor L = 2, 3, 4 en 6. Het product van Baxter is geëvalueerd tot twee miljoen factoren en gecontroleerd met transfermatrices op stroken van breedte 4, 6, 8 en 10.
De status van de uitspraken is expliciet:
- Gemeten: alle experimentele resultaten in de paragrafen 2 tot en met 11.
- Bewezen: fluxoïdekwantisatie; de halfkwantumtelling; wandpariteit; de kagome-rang 2L² − 1 voor de berekende groottes; het resultaat van Baxter.
- Berekend: fluxperioden; vrije trits per cel; het aandeel van 49% ringen.
- Interpretatie: fluxoïde als winding; halfkwantumfluxoïde, chirale wand en π-koppeling als naad; de π-omslag als de tritreeks; wanden als sluiting door verschil; rand, vortexitrooster en kagome-netwerk als het net; 4e en 6e als ontmoeting en rondgang.
- Open: de 4e/6e-telling per ringgrootte; de vorm van de π-omslag; de gemeten dichtheid van gesloten paden in kagome-vlokken; ringen van drie en zes.
Geannoteerde referentielijst
Het theoretische kader
1. Konstapel, J. (2026). The Vacuum.Net Theory: Foundational Paper. Constable Research, Leiden.
Waarom lezen? Het werk stelt de axioma’s op die dit essay doorlopend gebruikt: sluiting, geheugen en toestandsafhankelijke respons. Het is de bron van de trit, het venster en de sluitingsregel zelf. Leesadvies: begin bij Deel 0 en het vensterregister.
2. Konstapel, J. (2026). “Closure on a Ring: The Bethe Ansatz, the Work of J.-S. Caux, and the Closure Rule of the Vacuum.Net.” constable.blog, 10 oktober 2026.
Waarom lezen? Het werk ontwikkelt de 27 vensters, de 120°-fasetoewijzing en de naadtabel. Het formuleert ook de open vraag van ringen van drie en zes. Leesadvies: paragrafen 1, 3 en 6.
3. Konstapel, J. (2026). “The Way Before the Net: Light, Location and the Oldest Dao as the Ground of the Vacuum.Net.” constable.blog, 20 oktober 2026.
Waarom lezen? Het werk funderet de interpretatie van nul als ontmoeting, de twee wegen naar sluiting, wederzijdse ondersteuning en de open vraag van de volgorde. Leesadvies: paragrafen 6 en 9.
Ringen en halve slagen
4. Yasui, Y., Lahabi, K., Anwar, M. S., Nakamura, Y., Yonezawa, S., Terashima, T., Aarts, J., en Maeno, Y. (2017). “Little-Parks oscillations with half-quantum fluxoid features in Sr₂RuO₄ microrings.” Physical Review B 96, 180507(R).
Waarom lezen? Het artikel rapporteert zuivere Little–Parks-oscillaties in ringen die uit bulk-enkelkristallen gefreesd zijn. De pieksplitsing onder een veld in het vlak wordt gelezen als de halfkwantumfluxoïde. Het is de experimentele pijler van paragraaf 3. Leesadvies: bestudeer de schets van de vrije energie in de eerste figuur.
5. Yasui, Y., Lahabi, K., Fernández Becerra, V., Fermin, R., Anwar, M. S., Yonezawa, S., Terashima, T., Milošević, M. V., Aarts, J., en Maeno, Y. (2020). “Spontaneous emergence of Josephson junctions in homogeneous rings of single-crystal Sr₂RuO₄.” npj Quantum Materials 5, 21.
Waarom lezen? Twee juncties die niemand fabriceerde, op de wanden tussen chirale domeinen. Het artikel is vrij toegankelijk. Het is de experimentele pijler van paragraaf 4. Leesadvies: leg de ringen met scherpe en met brede overgang naast elkaar.
6. Lahabi, K. (2018). Spin-triplet supercurrents of odd and even parity in nanostructured devices. Proefschrift, Universiteit Leiden.
Waarom lezen? Het bundelt het schijf- en ringwerk in één deel, met vermelding van de auteursbijdragen per hoofdstuk. Nuttig om te traceren welke resultaten gezamenlijk werk zijn.
De π-junctie en de wanden
7. Ryazanov, V. V., Oboznov, V. A., Rusanov, A. Yu., Veretennikov, A. V., Golubov, A. A., en Aarts, J. (2001). “Coupling of two superconductors through a ferromagnet: evidence for a π junction.” Physical Review Letters 86, 2427.
Waarom lezen? De eerste π-junctie. De kritieke stroom zakt naar nul en keert terug met tegengesteld teken. Dit is de experimentele pijler van paragraaf 5. Leesadvies: let op de Ic(T)-kromsten rond de cousvlakte.
8. Rusanov, A. Yu., Hesselberth, M. B. S., Aarts, J., en Buzdin, A. I. (2004). “Enhancement of the superconducting transition temperature in Nb/permalloy bilayers by controlling the domain state of the ferromagnet.” Physical Review Letters 93, 057002.
Waarom lezen? Supergeleiding versterkt door domeinwanden waarvan de breedte overeenkomt met de coherentiëntie. Het is de experimentele pijler van paragraaf 6. Het artikel toont dat sluiting door verschil een strenge meetkundige voorwaarde heeft.
De rand
9. Maj, W., en Aarts, J. (1991). “Outer layers determine the parallel critical field of a superconducting multilayer.” Physical Review B.
Waarom lezen? De vroegste uitspraak in deze onderzoekslijn dat de grens beslist. Het beginsel werd later op nanometerschaal door de randexperimenten bevestigd.
10. Lahabi, K., Amundsen, M., Ouassou, J. A., Beukers, E., Pleijster, M., Linder, J., Alkemade, P., en Aarts, J. (2017). “Controlling supercurrents and their spatial distribution in ferromagnets.” Nature Communications 8, 2056.
Waarom lezen? Een vortex in een schijf splitst de superstroom in twee kanalen. Een klein veld verplaatst de vortex en daarmee de stroom. Vrij toegankelijk. Leesadvies: merk op dat de ruimtelijke sturing volgt uit meetkunde alleen.
11. Fermin, R., van Dinter, D., Hubert, M., Woltjes, B., Silaev, M., Aarts, J., en Lahabi, K. (2022). “Superconducting triplet rim currents in a spin-textured ferromagnetic disk.” Nano Letters 22, 2209.
Waarom lezen? Randkanalen smaller dan 80 nm, de centrale rol van de vacümgrens, en 0- en π-kanalen in één apparaat. Vrij toegankelijk. Dit is de scherpste experimentele uitspraak dat de rand het pad kiest.
12. Fermin, R., Yao, J., Lahabi, K., en Aarts, J. (2023). “The unusual distribution of spin-triplet supercurrents in disk-shaped Josephson junctions.” Superconductor Science and Technology 36, 064001.
Waarom lezen? Een compact overzicht van het hele schijfprogramma in elf bladzijden. De beste enkele toegang tot de literatuur over randstromen.
13. Yao, J., Fermin, R., Cabero, M., Lahabi, K., en Aarts, J. (2024). “Triplet supercurrents in lateral Josephson junctions with a half-metallic ferromagnet.” Physical Review Research 6, 043114.
Waarom lezen? Randstromen verschijnen in schijven, niet in staven. Alleen de meetkunde kiest het gesloten pad. Dit sluit het tripletgeneratiemechanisme uit als oorzaak van de beperking.
14. Fermin, R., Scheinowitz, N. M. A., Aarts, J., en Lahabi, K. (2022). “Mesoscopic superconducting memory based on bistable magnetic textures.” Physical Review Research 4, 033136.
Waarom lezen? Twee stabiele magnetische texturen dienen als twee opgeslagen toestanden. Het apparaat demonstreert het geheugenaxioma van de sluitingsregel in hardware: een gesloten configuratie houdt stand zonder voeding.
Het vortexitrooster
15. Troyanovski, A. M., Aarts, J., en Kes, P. H. (1999). “Collective and plastic vortex motion in superconductors at high flux densities.” Nature 399, 665.
Waarom lezen? Het rooster van windingen in beweging afgebeeld. Het behandelt pinnen, plastische kruip en coërente kruip in het ritme van het rooster. De coërente kruip is het vierde netaxioma dat rechtstreeks zichtbaar wordt.
Kagome
16. Blom, T. J., Rog, M., Altena, M., Capa Salinas, A. N., Lee, J., Regter, R. Q., Wigbout, L. J., Wilson, S. D., Allan, M. P., Li, C., en Lahabi, K. (2026). “Emergent network of Josephson junctions in a kagome superconductor.” Nano Letters 26, 7874. Preprint: arXiv 2510.09777.
Waarom lezen? Schapiro-stappen en interferentiepatronen van juncties die intrinsiek zijn aan een ongestructureerde vlok CsV₃Sb₅. Het netwerk overleeft nanostructurering en thermische kringen. Dit is de eerste pijler van paragraaf 9.
17. Rog, M., Blom, T. J., Regter, R. Q., Capa Salinas, A., Benali, D., Lee, J., Boltje, D. B., Fischer, M. H., Neupert, T., Wilson, S. D., Allan, M. P., en Lahabi, K. (2026). “Direct observation of channelised supercurrents in a kagome superconductor.” arXiv 2606.20157.
Waarom lezen? Het netwerk rechtstreeks afgebeeld met een SQUID-microscoop, inclusief de afhankelijkheid van tin-dotering. Dit is de tweede pijler van paragraaf 9. Leesadvies: bestudeer de kaarten van de stroomdichtheid.
18. Rog, M., Blom, T. J., Boltje, D. B., de Haan, J. D., Fermin, R., Niu, J., Doedes, Y. C., Allan, M. P., en Lahabi, K. (2026). “Tapping-mode SQUID-on-tip microscopy with proximity Josephson junctions.” Nano Letters 26, 1608.
Waarom lezen? Het beschrijft het instrument achter de stroomdichtheidskaarten. Belangrijk om de resolutie en betrouwbaarheid van de beelden te beoordelen.
19. Ge, J., Wang, P., Xing, Y., Yin, Q., Wang, A., Shen, J., Lei, H., Wang, Z., en Wang, J. (2024). “Charge-4e and charge-6e flux quantization and higher charge superconductivity in kagome superconductor ring devices.” Physical Review X 14, 021025.
Waarom lezen? Het rapporteert fluxperioden van h/4e en h/6e, en hun volgorde met temperatuur en ringgrootte. Het levert de data achter paragraaf 9.5 en de open 4e/6e-telling.
20. Baxter, R. J. (1970). “Colorings of a hexagonal lattice.” Journal of Mathematical Physics 11, 784.
Waarom lezen? De exacte oplossing voor het aantal drie-kleuringen van het honingraatrooster. Het essay gebruikt haar in paragraaf 9.3 om alleen-ringconfiguraties te tellen. Het artikel is kort en volledig.
Oudere lijnen
21. Steglich, F., Aarts, J., Bredl, C. D., Lieke, W., Meschede, D., Franz, W., en Schäfer, H. (1979). “Superconductivity in the presence of strong Pauli paramagnetism: CeCu₂Si₂.” Physical Review Letters 43, 1892.
Waarom lezen? De eerste niet-conventionele supergeleider. Zware quasipartikelen paren te midden van sterk magnetisme bij 0,7 K. Vier bladzijden die een vakgebied openden.
22. Fäth, M., Freisem, S., Menovsky, A. A., Tomioka, Y., Aarts, J., en Mydosh, J. A. (1999). “Spatially inhomogeneous metal-insulator transition in doped manganites.” Science 285, 1540.
Waarom lezen? Het submicronmozaïek van metallische en isolerende gebieden, stabiel tot 9 tesla. Een rechtstreeks beeld van gesloten en open mazen naast elkaar.
23. Yin, C., Smink, A. E. M., Leermakers, I., Tang, L. M. K., Lebedev, N., Zeitler, U., van der Wiel, W. G., Hilgenkamp, H., en Aarts, J. (2020). “Electron trapping mechanism in LaAlO₃/SrTiO₃ heterostructures.” Physical Review Letters.
Waarom lezen? Geleiding op de ontmoeting van twee isolatoren. Het grensvlak is een derde laag die twee andere dragen — wederzijdse ondersteuning in hardware.
24. Blom, T. J., Mechielsen, T. W., Fermin, R., Hesselberth, M. B. S., Aarts, J., en Lahabi, K. (2021). “Direct-write printing of Josephson junctions in a scanning electron microscope.” ACS Nano 15, 322.
Waarom lezen? Het beschrijft het fabricagegereedschap dat ringen van drie en zes op een chip kan plaatsen. Het verbindt de theoretische telling uit paragraaf 12 met de experimentele praktijk.
Profielen
25. Universiteit Leiden. Persoonspagina’s van K. Lahabi en J. Aarts, met volledige publicatielijsten. universiteitleiden.nl.
Waarom lezen? De volledige publicatielijsten waarop dit essay steunt. De pagina’s documenteren de volle omvang van beide carrières, verder dan de geselecteerde resultaten.
26. Universiteit Leiden (2026). “Vidi-subsidies voor 11 onderzoekers van Universiteit Leiden.” Nieuws, 22 oktober 2026.
Waarom lezen? Het formuleert het doel van Lahabi’s nieuwe microscoopproject in vier zinnen. Het project beeldt af waar de collectieve golf stroomt — en dus waar de sluiting ligt.
Article + Essay:
DOI: Where the Supercurrent Closes The Leiden Work of J. Aarts and K. Lahabi and the Closure Rule of the Vacuum.Net
Where the Supercurrent Closes
A Critical Essay on the Leiden Work of Jan Aarts and Kaveh Lahabi, and the Closure Rule of the Vacuum.Net
Based on J. Konstapel (2026), “Where the Supercurrent Closes,” Constable Research, Leiden.
Executive Summary
This essay reviews four decades of superconductivity research from a single laboratory in Leiden. Two physicists anchor the story. Jan Aarts began with vortex lattices, ferromagnetic hybrids, and the first π junction. His former student Kaveh Lahabi continued with disks, rings, and a kagome superconductor. Lahabi now holds a Vidi grant to image how the collective superconducting wave flows.
Their results share one pattern. The supercurrent does not spread evenly through a material. It runs where a quantum phase returns onto itself. It runs around a vortex core. It runs along the rim of a disk. It runs across a pair of domain walls. It runs through a network of filaments.
The Vacuum.Net theory starts from that single condition. Its claim is simple: only what returns in phase persists. This essay sets the Leiden measurements beside that rule. Four results follow from it directly. First, the half-quantum fluxoid appears as two half-turns. Second, domain walls on a ring must come in pairs. Third, the π junction passes through the sign sequence +, 0, −. Fourth, the kagome lattice carries exactly one free trit of closed configurations per unit cell.
1. The Closure Rule in Brief
The theory uses one image. Picture a fishnet in water. One strand runs everywhere and crosses itself. Knots form where the strands wind around each other. Meshes lie between the strands. Four words carry the whole model: strand, winding, knot, mesh.
At every crossing, the strand holds one of three states. These are +1, 0, and −1. The theory calls this unit a trit. Three crossings in a row form a window. A window is closed when its three values sum to zero, counted modulo 3. An open window carries tension. Only what closes stays.
Three states on three places give 27 possible windows. Nine of them close. Three hold equal values: (+, +, +), (0, 0, 0), and (−, −, −). Six hold all three different values, in every order of (−, 0, +). The remaining 18 stay open.
The closed ring deserves a closer look. A ring of three different values has no natural starting point. Six orderings divided by three rotations give two distinct rings. The left ring runs − → 0 → +. The right ring runs + → 0 → −. They are mirror images.
Now place a left ring against a right ring. The sequence reads −, 0, +, +, 0, −. Two of the four windows close. Two stay open. The seam between the two rings always produces exactly two open windows. Open windows come in pairs. This pairing will return throughout the physics.
Give each trit a phase of 120°. A window then carries a total phase equal to its sum times 120°. A sum of 0 or ±3 gives a whole number of turns. A sum of ±1 or ±2 does not. The closed window is therefore the condition that the phase returns onto itself. This is precisely the condition that quantizes magnetic flux in a superconducting ring.
Two further statements complete the rule. First, zero is not rest. Zero is the meeting of an act with its mirror: +1 and −1 together. Second, there are two ways to reach zero. One is meeting, where two opposite values cancel. The other is going round, where three equal steps complete a turn.
2. The Ring: Fluxoid Quantization as Closure
A superconducting ring carries one condensate wave function. After one full turn around the ring, its phase must return to its starting value. The phase winding is therefore 2πn, with n an integer. The enclosed fluxoid is quantized:
Φ′ = n · Φ₀, where Φ₀ = h/2e = 2.0678 × 10⁻¹⁵ Wb.
Near the critical temperature, the free energy of the ring oscillates with the applied magnetic flux. The transition temperature and the resistance follow those oscillations. Physicists call these the Little–Parks oscillations.
The arithmetic is short. Take a ring with an inner area of 0.96 µm². The field period is:
ΔB = Φ₀ / A = 2.0678 × 10⁻¹⁵ / (0.96 × 10⁻¹²) ≈ 2.15 mT.
Read in the terms of the net, the ring is one winding. The quantum number n is its address. A state that does not close in phase does not exist. The rule is the same as the closure rule. Only the notation differs.
3. The Half-Quantum Fluxoid: Two Half-Turns
Strontium ruthenate, Sr₂RuO₄, is a leading candidate for an equal-spin triplet superconductor. In 2017, Yasui, Lahabi, Aarts, Maeno, and colleagues milled microrings from single crystals of this material. They observed proper Little–Parks oscillations. When they added an in-plane magnetic field, the peaks split. They read the splitting as the half-quantum fluxoid.
The count is short. In an equal-spin triplet state, the order parameter has two components:
Ψ = Δ (e^{iθ↑} |↑↑⟩ + e^{iθ↓} |↓↓⟩).
Each component must be single-valued on its own. Around the ring, the phase θ↑ winds by 2π·m↑. The phase θ↓ winds by 2π·m↓. The integers m↑ and m↓ need not be equal. The fluxoid follows the mean charge phase:
n′ = (m↑ + m↓) / 2.
Take m↑ = 1 and m↓ = 0. Then n′ = ½. The charge phase winds by a half turn. The spin axis rotates by the other half. Together they make one whole turn.
The closure rule gives this a direct reading. One turn of a half-integer carrier is only half a closure. A complete closure needs a second half. The half-quantum fluxoid shows exactly that structure: half in charge, half in spin, and closed only as a pair. The experiment confirms that half-closures occur in nature, and that they arrive paired.
4. Spontaneous Junctions: Walls Come in Pairs
Sr₂RuO₄ is also a candidate chiral superconductor. Its order parameter can turn left or right. Domains of opposite chirality can coexist in one crystal. At the wall between two domains, the condensate is suppressed. Such a wall can act as an intrinsic Josephson junction.
In 2020, Yasui, Lahabi, and colleagues reported a striking finding. They found such junctions in rings that were perfectly homogeneous. No one fabricated them. Rings with a sharp superconducting transition at 1.5 K showed critical-current oscillations. The period matched one flux quantum. The rings behaved like a dc SQUID with two junctions. Rings with a broad transition near 3 K showed no junctions at all. They showed only plain Little–Parks oscillations. Order-parameter simulations placed stable domain walls across both arms of the ring.
A parity count settles the number of walls. Chirality has two values. Each wall reverses it. A path around the ring must return to its starting chirality. It must therefore cross an even number of walls. The smallest nonzero even number is two.
The count matches the measurement exactly: two junctions, or none. It also matches the seam of Section 1. A left ring placed against a right ring gives two open windows. They come as a pair. In the Leiden rings, the pair appeared as two junctions that nobody built. The parity argument makes their pairing inevitable, and the experiment confirmed it.
5. The π Junction: One Device, Three States
In 2001, Ryazanov, Oboznov, Rusanov, Veretennikov, Golubov, and Aarts reported the first π junction. The device consisted of niobium electrodes and a Cu₀.₄₈Ni₀.₅₂ ferromagnetic layer about 22 nm thick.
On cooling, the critical current fell to zero and then rose again. The authors showed that the coupling changes sign. Above the crossover temperature, the junction is in the 0 state. Below it, the junction is in the π state. The crossover occurs where the thermal energy and the exchange energy are of the same order.
Write the critical current with its sign. On cooling, it runs:
+Ic → 0 → −Ic.
The coupling passes through all three trit values: +, 0, and −. The zero is not a third phase of the junction. It is the point where 0-coupling and π-coupling meet and cancel. That is the net’s definition of zero: an act meeting its mirror.
The π state itself is a half-turn. Across the junction, the phase jumps by π. This is the third appearance of the same object in the Leiden work. The half-quantum fluxoid of Section 3 is one instance. The chiral domain wall of Section 4 is another. The π coupling is the third. One geometric motif — the half-turn that needs a partner — recurs across three very different devices.
6. Domain Walls: Closure by Difference
A ferromagnet suppresses superconductivity through its exchange field. In a uniformly magnetized layer, the field points in one direction. Pair-breaking is then strong. But in 2004, Rusanov, Hesselberth, Aarts, and Buzdin studied niobium on permalloy. They found a clear enhancement of superconductivity in a narrow field window of about 0.5 mT. In that window, the permalloy switches and many magnetic domains coexist.
Their explanation focused on the domain walls. Inside a wall, a Cooper pair samples many magnetization directions at once. The pair-breaking effects partly average out. The condition is geometric. The wall width must match the coherence length: δw ≈ ξS(T). In microstructured samples without walls, the effect was absent.
The closure rule has a matching structure. There are two kinds of closed window. One holds three equal values. The other holds three different values. A uniform magnet is a window of one value: it carries tension. A domain wall offers different directions within one coherence length. The Cooper pair then sees a window that closes by difference.
The fit is strict. The wall must have the size of the pair. This is selection by fit. What matches the pair returns in phase. What does not match scatters. The experiment measured exactly where that fit pays off, and where it disappears.
7. The Rim Selects
Over thirty years, the Leiden group found one consistent result. The boundary decides where superconductivity lives.
- 1991. Maj and Aarts showed that in a Nb/NbZr multilayer, the outer layers determine the parallel critical field.
- 2017. Lahabi and colleagues built a disk-shaped Josephson junction with a ferromagnetic vortex. The supercurrent split into two channels. Moving the vortex with a small field moved the current.
- 2022. In Nb/Co disks, the long-range triplet current ran in narrow channels at the rim, below 80 nm wide. The boundary between superconductor and vacuum played a central role. By changing the spin texture, both 0 and π channels appeared in a single device.
- 2024. With the half-metal La₀.₇Sr₀.₃MnO₃, the triplet current was again confined to the rim of disks. In bar-shaped samples, it was uniform. The rim current belonged to the disk geometry, not to the mechanism that generated the triplets.
The reading is short. A closed rim is one winding. The disk offers a path that returns onto itself. The bar does not. The current takes the path that closes.
A memory element follows from the same principle. In 2022, Fermin, Scheinowitz, Aarts, and Lahabi built an elliptical junction. It switches with a 40 mT pulse between two stable textures: uniform magnetization, or a pair of vortices. Each texture gives a different critical current. Each texture is a closed configuration with its own address. Writing means changing the state of the medium. The configuration then holds without power. This is the closure rule’s third axiom at work: what is closed carries memory.
8. The Vortex Lattice: A Net of Windings
In a type-II superconductor, magnetic flux enters as vortices. Each vortex carries one flux quantum. Around its core, the phase winds by 2π. Each vortex is one closed winding. The vortices settle into a triangular lattice with meshes between them. Of all the structures condensed matter offers, this is the most literal picture of the net.
In 1999, Troyanovski, Aarts, and Kes imaged this lattice with scanning tunnelling microscopy at high flux densities. Two results stand out.
First, with strong line defects, the lattice stays pinned until there are about twice as many vortices as defects. Beyond that ratio, plastic creep begins. The lattice flows around its pinning sites.
Second, with weak point disorder, the vortices creep coherently along a principal axis of the lattice. Their speed is modulated with the lattice period. Each vortex moves in the rhythm of the whole lattice.
The second result illustrates the fourth axiom of the net. The response of a winding is a function of the state of its surroundings. Here the speed of each vortex follows the period of the lattice it belongs to. The net moves as one body.
9. The Kagome Superconductor: A Network of Windows
9.1 The measurements
The kagome lattice is a network of corner-sharing triangles. Every triangle is a group of three sites. In the kagome superconductor CsV₃Sb₅, Lahabi’s group found two major results.
First, an unstructured flake contains its own network of Josephson junctions. Blom, Rog, and colleagues reported this in 2026. The network emerges below the critical temperature. It shows quantized Shapiro steps. It survives nanostructuring and thermal cycling. Nobody fabricated it.
Second, a SQUID microscope images the network directly. Rog, Blom, and colleagues reported this in 2026. Narrow supercurrent channels appear at the critical temperature. They stay stable across all temperatures and currents. Their non-linear response fits junctions linked by filaments. The network is strong at light tin doping (x = 0.03). In undoped flakes, it is much weaker.
The network explains several anomalies reported for this material family. It accounts for the intrinsic junctions, the higher-charge pairing, and a superconducting diode effect without an applied field.
9.2 The closure rule on the lattice
The kagome lattice invites an exact count. Take a periodic kagome lattice of L × L unit cells. Each cell holds 3 sites and 2 triangles, one pointing up and one pointing down. The lattice has N = 3L² sites and 2L² triangles.
Put a trit on every site. Demand that every triangle closes: the sum of its three trits must be 0 modulo 3. Each triangle gives one linear equation over the finite field GF(3).
Count the solutions. Every site belongs to exactly one up-triangle and one down-triangle. The sum of all up-equations therefore equals the sum of all down-equations. That is one dependency. Direct computation by Gaussian elimination over GF(3) gives the rank for L = 2, 3, 4, and 6:
| L | Sites | Triangles | Rank | Free trits |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 12 | 8 | 7 | 5 |
| 3 | 27 | 18 | 17 | 10 |
| 4 | 48 | 32 | 31 | 17 |
| 6 | 108 | 72 | 71 | 37 |
The rank is 2L² − 1. The number of free trits is 3L² − (2L² − 1) = L² + 1.
The result is clean. The closure rule leaves exactly one free trit per unit cell. Each unit cell therefore carries three closed configurations.
9.3 Rings only
Now restrict the count to rings. Every triangle must carry three different values. This is the problem of colouring the kagome sites with three colours so that each triangle shows all three. It is equivalent to colouring the edges of the honeycomb lattice. Baxter solved this exactly in 1970. The number of states per honeycomb unit cell is:
W² = ∏(k ≥ 1) (3k − 1)² / [(3k)(3k − 2)] = 1.4610.
A transfer-matrix count on strips of width 4 to 10 converges to the same value (1.414, 1.587, 1.482, 1.459 per cell). One honeycomb cell corresponds to one kagome cell.
So rings fill 1.461 of the 3 states per cell, or about 49%. The remaining states are carried by windows of equal values.
9.4 Reading the result
The lattice already has the shape of the net. Each triangle is a window. The filaments are where the windows close along a path. The junctions are the open windows between them.
The network needs light doping to appear in full. That is the fourth axiom: the response depends on the state of the medium. The junctions survive thermal cycling and nanostructuring. That is the third axiom: closed configurations keep their form.
9.5 Higher charge: 4e and 6e
In 2024, Ge and colleagues measured CsV₃Sb₅ rings. At low temperature, the flux period was h/2e. On warming, it became h/4e. Near the onset of superconductivity, it became h/6e. In larger rings, h/4e did not appear. The period went from h/2e directly to h/6e.
For the ring of 0.96 µm², the periods are:
- h/2e: 2.15 mT
- h/4e: 1.08 mT
- h/6e: 0.72 mT
The closure rule offers a reading. Give each Cooper pair a phase step of 120°. Three pairs then close in the same two ways as a window. Either they carry 0°, 120°, and 240° — the ring — or they take three equal steps — going round. A charge of 6e is a window of three pairs. A charge of 4e is the meeting of two. Which closure appears at which ring size is a count that remains open.
10. Mosaic, Interface, and the First Heavy Fermion
Three older lines in Aarts’s work complete the picture.
Manganites. In 1999, Fäth, Freisem, Menovsky, Tomioka, Aarts, and Mydosh imaged a doped manganite with tunnelling spectroscopy. Metallic and insulating patches coexisted on a submicron scale. The texture survived fields up to 9 tesla. The transition does not happen uniformly. Closed regions grow until they connect. In the net, open and closed meshes lie side by side, and the pattern holds its form.
Oxide interfaces. LaAlO₃ and SrTiO₃ are both insulators. Their shared interface conducts. Aarts’s group grew such interfaces by sputtering and studied how electrons are trapped there. Two layers that do not conduct support a third that does. In the oldest form of the theory, this is mutual support: two things that have arisen carry the next.
CeCu₂Si₂. In 1979, Steglich, Aarts, and colleagues reported superconductivity in CeCu₂Si₂. It was the first unconventional superconductor. It forms from heavy quasiparticles amid strong magnetism, with a critical temperature of 0.7 K. Lattice vibrations do not account for it. No external binding agent is needed in the net either. What returns in phase stays.
11. Direction: The Open Question
The register of the net records sums. But two orderings with the same sum can still differ. A sequence that runs toward closure is not the same as one that runs away from it. The theory therefore needs a quantity that records order, not just total.
CsV₃Sb₅ offers the clearest laboratory test. It shows a superconducting diode effect without an applied field. The critical current depends on direction. The sum is the same. The response is not. This is the most direct place to look for that missing quantity.
12. Where the Count Continues
Rings of three and six. The net counts that a ring of three different values cannot grow by one site. It grows by three, to six. A ring of six splits into two rings of three. The Leiden group mills rings from single crystals, prints junctions with an electron beam, and works in a material whose lattice is made of triangles and hexagons. The count can be put on a chip.
The shape of zero. In the net, zero is a meeting, not a state. In a π junction, the crossover should then be a single point where the critical current touches zero, not an interval. The published Ic(T) curves allow this count.
The kagome number. One free trit per cell is a computed property of the closure rule. The SQUID microscope can see which paths close. Comparing the measured density of closed paths with the count of Section 9 is the next step.
The Vidi microscope. Lahabi’s new project aims to image how the collective wave of a quantum material flows. That is a direct image of where closure lies.
13. Method and Status
Every number in this essay was recomputed. The flux periods follow from h/Qe divided by the ring area. The half-quantum fluxoid follows from single-valuedness per spin component. The wall parity follows from the two-valued chirality. The kagome rank was computed by Gaussian elimination over GF(3) for L = 2, 3, 4, and 6. Baxter’s product was evaluated to two million factors and checked by transfer matrices on strips of width 4, 6, 8, and 10.
The status of the statements is explicit:
- Measured: all experimental results in Sections 2 to 11.
- Proved: fluxoid quantization; the half-quantum count; wall parity; the kagome rank 2L² − 1 for the sizes computed; Baxter’s result.
- Computed: flux periods; free trits per cell; the 49% share of rings.
- Interpretation: fluxoid as winding; half-quantum fluxoid, chiral wall, and π coupling as the seam; the π crossover as the trit sequence; walls as closure by difference; rim, vortex lattice, and kagome network as the net; 4e and 6e as meeting and going round.
- Open: the 4e/6e count by ring size; the shape of the π crossover; the measured density of closed paths in kagome flakes; rings of three and six.
Annotated References
The theoretical framework
1. Konstapel, J. (2026). The Vacuum.Net Theory: Foundational Paper. Constable Research, Leiden.
Why read it? It states the axioms used throughout this essay: closure, memory, and state-dependent response. It is the source of the trit, the window, and the closure rule itself. Reading advice: start with Part 0 and the window register.
2. Konstapel, J. (2026). “Closure on a Ring: The Bethe Ansatz, the Work of J.-S. Caux, and the Closure Rule of the Vacuum.Net.” constable.blog, 10 October 2026.
Why read it? It develops the 27 windows, the 120° phase mapping, and the seam table. It also states the open question of rings of three and six. Reading advice: Sections 1, 3, and 6.
3. Konstapel, J. (2026). “The Way Before the Net: Light, Location and the Oldest Dao as the Ground of the Vacuum.Net.” constable.blog, 20 October 2026.
Why read it? It grounds the interpretation of zero as a meeting, the two roads to closure, mutual support, and the open question of order. Reading advice: Sections 6 and 9.
Rings and half-turns
4. Yasui, Y., Lahabi, K., Anwar, M. S., Nakamura, Y., Yonezawa, S., Terashima, T., Aarts, J., and Maeno, Y. (2017). “Little-Parks oscillations with half-quantum fluxoid features in Sr₂RuO₄ microrings.” Physical Review B 96, 180507(R).
Why read it? The paper reports proper Little–Parks oscillations in rings milled from bulk single crystals. The peak splitting under an in-plane field is read as the half-quantum fluxoid. It is the experimental anchor of Section 3. Reading advice: study the free-energy sketch in the first figure.
5. Yasui, Y., Lahabi, K., Fernández Becerra, V., Fermin, R., Anwar, M. S., Yonezawa, S., Terashima, T., Milošević, M. V., Aarts, J., and Maeno, Y. (2020). “Spontaneous emergence of Josephson junctions in homogeneous rings of single-crystal Sr₂RuO₄.” npj Quantum Materials 5, 21.
Why read it? Two junctions that nobody fabricated, located at the walls between chiral domains. The paper is open access. It is the experimental anchor of Section 4. Reading advice: compare the sharp-transition and broad-transition rings side by side.
6. Lahabi, K. (2018). Spin-triplet supercurrents of odd and even parity in nanostructured devices. PhD thesis, Leiden University.
Why read it? It collects the disks and rings work in one volume, with explicit author contributions per chapter. Useful for tracing which results are joint work.
The π junction and the walls
7. Ryazanov, V. V., Oboznov, V. A., Rusanov, A. Yu., Veretennikov, A. V., Golubov, A. A., and Aarts, J. (2001). “Coupling of two superconductors through a ferromagnet: evidence for a π junction.” Physical Review Letters 86, 2427.
Why read it? The first π junction. The critical current falls to zero and returns with opposite sign. It is the experimental anchor of Section 5. Reading advice: focus on the Ic(T) curves around the cusp.
8. Rusanov, A. Yu., Hesselberth, M. B. S., Aarts, J., and Buzdin, A. I. (2004). “Enhancement of the superconducting transition temperature in Nb/permalloy bilayers by controlling the domain state of the ferromagnet.” Physical Review Letters 93, 057002.
Why read it? Superconductivity strengthened by domain walls whose width matches the coherence length. It is the experimental anchor of Section 6. The paper demonstrates that closure by difference has a strict geometric condition.
The rim
9. Maj, W., and Aarts, J. (1991). “Outer layers determine the parallel critical field of a superconducting multilayer.” Physical Review B.
Why read it? The earliest statement in this research line that the boundary decides. It established the principle that later rim experiments confirmed at the nanometre scale.
10. Lahabi, K., Amundsen, M., Ouassou, J. A., Beukers, E., Pleijster, M., Linder, J., Alkemade, P., and Aarts, J. (2017). “Controlling supercurrents and their spatial distribution in ferromagnets.” Nature Communications 8, 2056.
Why read it? A vortex in a disk splits the supercurrent into two channels. Moving the vortex with a small field moves the current. Open access. Reading advice: note how the spatial control follows from geometry alone.
11. Fermin, R., van Dinter, D., Hubert, M., Woltjes, B., Silaev, M., Aarts, J., and Lahabi, K. (2022). “Superconducting triplet rim currents in a spin-textured ferromagnetic disk.” Nano Letters 22, 2209.
Why read it? Rim channels below 80 nm wide, the central role of the vacuum boundary, and both 0 and π channels in one device. Open access. It is the sharpest experimental statement that the rim selects the path.
12. Fermin, R., Yao, J., Lahabi, K., and Aarts, J. (2023). “The unusual distribution of spin-triplet supercurrents in disk-shaped Josephson junctions.” Superconductor Science and Technology 36, 064001.
Why read it? A compact review of the whole disk programme in eleven pages. The best single entry point into the rim-current literature.
13. Yao, J., Fermin, R., Cabero, M., Lahabi, K., and Aarts, J. (2024). “Triplet supercurrents in lateral Josephson junctions with a half-metallic ferromagnet.” Physical Review Research 6, 043114.
Why read it? Rim currents appear in disks but not in bars. The geometry alone selects the closed path. It rules out the triplet-generation mechanism as the cause of confinement.
14. Fermin, R., Scheinowitz, N. M. A., Aarts, J., and Lahabi, K. (2022). “Mesoscopic superconducting memory based on bistable magnetic textures.” Physical Review Research 4, 033136.
Why read it? Two stable magnetic textures serve as two stored states. The device demonstrates the closure rule’s memory axiom in hardware: a closed configuration holds without power.
The vortex lattice
15. Troyanovski, A. M., Aarts, J., and Kes, P. H. (1999). “Collective and plastic vortex motion in superconductors at high flux densities.” Nature 399, 665.
Why read it? The lattice of windings imaged in motion. It covers pinning, plastic creep, and coherent creep in the rhythm of the lattice. The coherent creep result is the fourth axiom of the net seen directly.
Kagome
16. Blom, T. J., Rog, M., Altena, M., Capa Salinas, A. N., Lee, J., Regter, R. Q., Wigbout, L. J., Wilson, S. D., Allan, M. P., Li, C., and Lahabi, K. (2026). “Emergent network of Josephson junctions in a kagome superconductor.” Nano Letters 26, 7874. Preprint: arXiv 2510.09777.
Why read it? Shapiro steps and interference patterns from junctions intrinsic to an unstructured flake of CsV₃Sb₅. The network survives nanostructuring and thermal cycling. It is the first pillar of Section 9.
17. Rog, M., Blom, T. J., Regter, R. Q., Capa Salinas, A., Benali, D., Lee, J., Boltje, D. B., Fischer, M. H., Neupert, T., Wilson, S. D., Allan, M. P., and Lahabi, K. (2026). “Direct observation of channelised supercurrents in a kagome superconductor.” arXiv 2606.20157.
Why read it? The network seen directly with a SQUID microscope, including its dependence on tin doping. It is the second pillar of Section 9. Reading advice: study the current-density maps.
18. Rog, M., Blom, T. J., Boltje, D. B., de Haan, J. D., Fermin, R., Niu, J., Doedes, Y. C., Allan, M. P., and Lahabi, K. (2026). “Tapping-mode SQUID-on-tip microscopy with proximity Josephson junctions.” Nano Letters 26, 1608.
Why read it? It describes the instrument behind the current-density maps. Essential for judging the resolution and reliability of the imaging results.
19. Ge, J., Wang, P., Xing, Y., Yin, Q., Wang, A., Shen, J., Lei, H., Wang, Z., and Wang, J. (2024). “Charge-4e and charge-6e flux quantization and higher charge superconductivity in kagome superconductor ring devices.” Physical Review X 14, 021025.
Why read it? It reports flux periods of h/4e and h/6e, and how they order with temperature and ring size. It supplies the data behind Section 9.5 and the open 4e/6e count.
20. Baxter, R. J. (1970). “Colorings of a hexagonal lattice.” Journal of Mathematical Physics 11, 784.
Why read it? The exact solution for the number of three-colourings of the honeycomb lattice. The essay uses it in Section 9.3 to count ring-only configurations. The paper is short and complete.
Older lines
21. Steglich, F., Aarts, J., Bredl, C. D., Lieke, W., Meschede, D., Franz, W., and Schäfer, H. (1979). “Superconductivity in the presence of strong Pauli paramagnetism: CeCu₂Si₂.” Physical Review Letters 43, 1892.
Why read it? The first unconventional superconductor. Heavy quasiparticles pair amid strong magnetism at 0.7 K. Four pages that opened a field.
22. Fäth, M., Freisem, S., Menovsky, A. A., Tomioka, Y., Aarts, J., and Mydosh, J. A. (1999). “Spatially inhomogeneous metal-insulator transition in doped manganites.” Science 285, 1540.
Why read it? The submicron mosaic of metallic and insulating patches, stable up to 9 tesla. A direct image of closed and open meshes lying side by side.
23. Yin, C., Smink, A. E. M., Leermakers, I., Tang, L. M. K., Lebedev, N., Zeitler, U., van der Wiel, W. G., Hilgenkamp, H., and Aarts, J. (2020). “Electron trapping mechanism in LaAlO₃/SrTiO₃ heterostructures.” Physical Review Letters.
Why read it? Conduction at the meeting of two insulators. The interface is a third layer that two others carry — mutual support in hardware.
24. Blom, T. J., Mechielsen, T. W., Fermin, R., Hesselberth, M. B. S., Aarts, J., and Lahabi, K. (2021). “Direct-write printing of Josephson junctions in a scanning electron microscope.” ACS Nano 15, 322.
Why read it? It describes the fabrication tool that can put rings of three and six on a chip. It connects the theoretical count of Section 12 to experimental practice.
Profiles
25. Leiden University. Staff pages of K. Lahabi and J. Aarts, including full publication lists. universiteitleiden.nl.
Why read it? The complete publication lists on which this essay draws. The pages document the full scope of both careers beyond the selected results.
26. Leiden University (2026). “Vidi grants for 11 researchers from Leiden University.” News, 22 October 2026.
Why read it? It states the aim of Lahabi’s new microscope project in four sentences. The project will image where the collective wave flows — and therefore where closure lies.
© 2026. This essay is a derived work based on J. Konstapel, “Where the Supercurrent Closes” (Constable Research, Leiden, 2026), quotation with attribution.