Inleiding

Vorige week (15-6-2023) ontdekte ik Alexander Grothendieck(1928-2014), het Wiskundige Genie van de vorige eeuw.

Direct naar de Samenvatting druk hier.

Direct naar de Conclusie druk hier

In deze blog probeer ik zijn Context , zijn Beweegredenen maar vooral zijn boodshap te ontcijferen.

Verder laat ik zien dat zijn denkbeelden perfect resoneren met onze Tijdgeest.

Spring naar een documentaire over Grothendieck druk hier

Revolutionair

Alexander was de zoon van een Joodse Russische anarchist die zijn executie was ontlopen en vele jaren gevangen zat in de kampen van Stalin. Hij stierf in Auschwitz.

.Alexander was zelf ook een Revolutionair.

Hij protesteerde tegen de oorlog in Vietnam en vocht voor het milieu op vele manieren tot zijn motivatie volledig verdween en hij zich terugtrok in een klein huisje op. het Franse platteland in de Pyreneeën.

Kluizenaar

Alexander ging 30 jaar voor zijn overlijden in 2014 als een kluizenaar leven en produceerde een enorme hoeveelheid (80.000) getypte documenten die grotendeels nog niet zijn ontsloten.

Hij heeft ook een “boek” achtergelaten genaamd “Recoltes et Semailles” en zijn er biefwisselingen en notities van zijn Leerlingen en Collega’s.

Geen interesse in Wiskunde maar wel in het leven van Grothendieck? druk hier

De Wiskunde van Grothendieck

met de hulp van GPT heb ik van alles opgezocht over de wiskunde van Grothendieck en video’s gezocht die van alles toelichten of verduidelijken.

De Erfenis

Het document hieronder geeft een soort deurtje naar de geest van Grothendieck waarin hij op een (wederom) eigenzinnige wijze laat zien wat hem bracht tot zijn inzichten maar ook tot “doorbraken”.

Pas zeer recent is men begonnen om deze enome bron van diep inzicht is te vertalen in een lint die langs het pad van Grothendieck kan worden gelegd teneinde inzicht te krijgen in zijn inzicht wat vermoedelijk nog maar een begin is van het begin.

Kijk maar eens naar het document net onder dit document of zoek het hoofdstuk “2.9. Form and Structuren or the Way of Things” in het document hieronder.

Visualisatie

Abstract Denken en Voorstelbaarheid

De wiskunde bestaat uit Gatenmakers en Gatenvullers.

De eerste gategorie ziet een gat maar kan het niet bewijzen terwijl de gatenvullers de gaten weer vullen met onbegrijpelijke langdradige redeneringen die ook nog is moeten worden bewezen wat soms ook nog is fout gaat terwijl niemand dat merkt.

Tegenwoordig komt de computer op twee manieren te hulp namelijk Visualisatie en Patroonherkenning en Bewijzen van de bewijzen (“Theory Provers“).

Beroende “zieners” zijn Fermat, Riemann en Poincare en recent Gödel.

Ze openden een eigen deur naar een totaal ander gebied van het Menselijke denken.

Riemann (Tellen)

Riemann voorzag dat de ondeelbare getallen (Priem), die het fundament vormen van het herhaald tellen (Vermenigvuldigen) voorspelbaar waren en op een lijn l(een kromme)l agen die hij de Zeta-functie noemde.

Poincare: Vervormen

De franse wiskundige Poincare was de “uitvinder” van de Topologie, de “kunst” van het vervormen van geometrische vormen.

Hij formuleerde in 1904 een vermoeden dat je een bol continu (zonder “hapering”) kunt transformeren in een punt.

Gödel de Waarheid is Relatief

Gödel “bewees” dat een bewijs geen garantie geeft op de waarheid omdat er altijd iets kan gebeuren wat niet was verwacht.

Hij laat ook zien dat je net als bij de pricipes van Schrodinger boven of naast een wetenschapsgebied moet gaan staan on het te kunnen observeren.

De innvatie van een vakgebied (en een mens en een organisatie) komt nooit van binnen maar van buiten.

Vissen weten niet wat water is en dat geldt ook voor wiskundigen die niet weten wat bewijzen eigenlijk inhoudt.

Bewijzen doe je in de Praktijk de simpele vise van de Amerikaanse pragmatisten met Charles Sanders Peirce voorop.

Hoe Groot is Oneindig?

Een wiskundige taal lijkt op gewone mensentaal maar het bevat veel meer symbolen in het gebruikte alfabet maar ook veel meer begrippen.

Die kunnen allemaal uit worden geschreven in lange onbegrijpelijke zinnen.

Het duurde niet lang na de komst van de computer dat wiskundigen de wiskunde in een eigen taal stopten.

Die werd APL genoemd en ik leerde hem al in 1969 Leiden tijdens mijn studietijd aan het CRI (Centraal Rekeninstituut).

APL was van IBM en bevatte eindeloos veel pakketten waarmee je snel een model kon maken middels de data die toen al in een relationele databases was opgeslagen.

De fundamenten van de wiskunde zaten volgens Russell en Witgenstein in de verzamelingenleer.

Die bleek niet fundamenteel genoeg waardoor er veel tijd werd besteed om ze fundamenteler te maken.

Een aanpak was om gewoon op te schrijven wat wel en niet mocht door Zermelo en Fraenckel totdat Paul Cohen een slim idee kreeg.

Dat idee was dat er eigenlijk meerdere Formele Systemen zijn die je kunt beperken totdat het systeem een bepaald gedrag vertoond.

Dit resulteerde in model theorie die eigenlijk nooit bedacht dat model-theorie ook een onderdeel is van model-theorie en niet besloot om het verhaal volledig om te draaien waardoor het vanzelf een fractale theorie werd zonder het te beseffen.

Totdat Huet naar aanleiding van het formuleren van Type theorie bedacht dat je er ook een taal van kunt maken en CoQ ontstond waarmee je wiskundige bewijzen kunt bewijzen wat je dan weer kunt omdraaien waardoor je vanzelf nieuwe theorien kunt vinden die nog nooit zijn bedacht met als enig probleem dat je die theorie wellicht niet snapt wat de wiskundige Leibniz al veel eerder had bedacht .

Geometrische Algebra

Hermann Grasmann l(1809 and and 1877 in Stettin (Germany)) ontdekte .Geometric Algebra 100 jaar voordat het werd herondekt door David Hestenes.Grassman stopt met de wiskunde en ging zich met hele oude talen bezighouden

Hij besefte dat imaginaire getallen geen gewone getallen op een rijtje waren maar een Rotatie in een n-dimensionele ruimte waarbij Raoul Bott (1923-2005). ontdekte dat het patroon n zich eindeloos herhaald tot in 2x2x2=8 = 2**3 dimensies (met een periodiciteit van 8.

Hoe dat kan snapt geen mens behalve als je beseft dat het een fractaal patroon is en al een tijd geleden is gevonden toen Dewey Larson ontdekte dat de natuurkunde veel simpeler wordt als je een beweging ziet als een herhaalde verplaatsing waardoor de ruimte en tijd eigenlijk alleen maar bestaat uit ruimte.

Voorbij deZichtbare Horizon

De zoektocht van Grothendieck was gericht op de de Horizon van deWiskunde totdat de Bureaucraten van de Universiteit zijn strijdbare motivatie compleet vernietigden.

Uitgeput van het harde denken zocht hij de natuur op en begon hij te bespiegelen.

Wiskundige Filosofen

Met behulp van GPT ben ik bezig geweest om originele wiskundige filosofen te vinden.

Volgens GPT is Alain Badiou nr. 1. een goede vriend van Slavoj Sizek.

Hoog om mijn eigen lijst staat L.E.F.Brouwer een wiskundige uit het begin van de 20e eeuw die mij direct te pakken had toen ik wiskunde studeerde.

Zijn onderwerp was Voorstelbaarheid.

Spiegels

Symmetrie speelt een grote rol in de wiskunde.

Indra’s net is een oneindige ruimte met spiegels die elkaar spiegelen.

Mensen zien zichzelf in Anderen en hun Binnen-enBuitenwereld.

De wereldberoemde Filosoof David Chalmers weet veel van Advaita maar Swami Sarvapriayananda weet er nog meer van.

Is De Overwinning van de Computer Nabij?

De wiskundig filosoof Timothy Govers is hard op weg om de software te maken die de wiskundige na kan doen.

Brouwer

Brouwer dacht na over Voorstelbaarheid en de Intuïtie .

Lackoff Belichamen

George Lakoff, een taalkundige ontdekte dat taal belichaamt is wat betekent dat we middels ons lichaam de wereld leren kennen en dat leerproces omzetten in weten. Zo is hoger veel belangrijker dan lager omdat we moeten opstaan en dat letterlijk stap voor stap.

Basis-Metaforen

Lakoff vond de basis-lichaamsmetaforen die cultuuronafhankelijk zijn zoals de container.

Samen met Nunez schreef hij het boek Where Mathematics comes from.

Badiou

Badiou blijft net als Slavoj Zicek een intelligente Marxist piekerend over de Maatschappij en de “verheffing” van de Armen en Rechtelozen.

Alles Uit het Niets

Het niets is niet niks en is daarom onvoorstelbaar behalve als je alles beschrijft met een verzameling.

Dan is het een verzameling met 0 objecten en het gevolg van een contradictie of “Alles wat Onmogelijk is“.

In de huidige Natuurkunde (die niet klopt) was het Niks een Ontploffing.

Nu lijkt het gewoon niks te zijn.

Wiskundige Taal

Bourbaki

is een groep van met name franse wiskundigen die rond 1950 (een belangrijk jaar) besloten om de wiskunde weer van de bodem af weer op te bouwen.

Ze ontdekten Category theorie en vroegen de jonge Grothendieck om mee te doen.

Uiteindelijk kregen ze ruzie en ging Grothendieck zelf verder.

Wiskundige Taal

Grothendieck had toen al een totaal andere aanpak bedacht namelijk het ontwerpen van een gespecialiseerde taal, die veel later ook door anderen werd opgepakt die de Type-theorie ontwikkelden.

Het idee van een wiskundige taal is al heel oud en is bijv. bij Leibniz te vinden, die zijn  characteristica universalis baseerde op het Chinees wat net als het Sanskrit ook een Ontworpen Taal is.

Gelijkheid

In de koop der tijd zijn er vele soorten gelijkheid ontstaan:

Gelijkheid (=): Traditioneel concept dat inherent is aan de wiskunde en dateert uit de vroegste ontwikkeling van logica en algebra (16e eeuw).

Definitorische gelijkheid (:=): Notatieconventie voor definities, gebruikt in formele talen en symbolen (varieert afhankelijk van de specifieke notatieconventie).

Structurele gelijkheid (≡): Concept ontwikkeld in de 20e eeuw in abstracte algebra en categorie theorie, benadrukt dat objecten dezelfde structurele eigenschappen delen (20e eeuw).

Homotopie-gelijkheid (≃): Geïntroduceerd in de homotopietheorie in het jaar 1949 door Samuel Eilenberg en Norman Steenrod.

Transformatie-gelijkheid (≡≡): Concept van hogere gelijkheden ontstaan in de 20e eeuw, met name in hogere categorie theorie, type theorie en andere wiskundige disciplines, maakt bewijzen van gelijkheden tussen gelijkheden mogelijk (20e eeuw).

Extensional and Intensional Mathematics:

Extensional Mathematics:

Extensional mathematics richt zich op de externe kenmerken en de uitbreiding (extension) van wiskundige objecten. 

Het legt de nadruk op de identiteit en gelijkheid van objecten op basis van hun waarneembare eigenschappen en gedragingen. 

In deze benadering worden objecten beschouwd als verzamelingen van elementen en worden ze geïdentificeerd door hun inhoud of uitbreiding. 

Het gaat erom te bepalen of twee objecten hetzelfde zijn door naar hun externe kenmerken te kijken, ongeacht hoe ze intern zijn gestructureerd.

Binnen extensional mathematics is de gelijkheid (=) de belangrijkste vorm van gelijkheid, waarbij twee objecten als gelijk worden beschouwd als ze dezelfde externe kenmerken hebben. 

Bijvoorbeeld, in de verzamelingenleer zou je twee verzamelingen als gelijk beschouwen als ze exact dezelfde elementen bevatten, ongeacht hun interne structuur.

Intensional Mathematics:

Intensional mathematics daarentegen richt zich op de interne kenmerken en de intension (intensie) van wiskundige objecten. 

Het legt de nadruk op de interne structuur, definities en eigenschappen van objecten. In deze benadering worden objecten gezien als concepten of ideeën die worden gekenmerkt door hun essentiële eigenschappen. Het gaat erom te begrijpen wat een object definieert en onderscheidt van andere objecten op basis van hun interne structuur en definitie.

Binnen intensional mathematics wordt er vaak onderscheid gemaakt tussen verschillende soorten gelijkheden, waaronder definitorische gelijkheid (:=), structurele gelijkheid (≡), en andere vormen van gelijkheden die de interne eigenschappen en definities van objecten benadrukken. 

Bijvoorbeeld, in de type theorie zou je kunnen spreken van gelijkheid tussen twee functies op basis van hun definitie en gedrag, zelfs als ze niet letterlijk dezelfde verzameling van punten afbeelden.

Homotopy Type Theory

In homotopietype theorie (HTT) worden “continu (Vloeiende) veranderende vervormingen(homotopieën) tussen wiskundige objecten beschreven.

Univalence Een andere Kijk op Gelijkheid

Univalence is een idee in de wiskunde dat ons helpt begrijpen wanneer twee verschillende dingen eigenlijk hetzelfde zijn. 

Stel je voor dat we een rode appel hebben en een groene appel. Op het eerste gezicht lijken ze verschillend, maar als we kijken naar wat ze echt zijn – beide zijn appels! Ze delen dezelfde essentie, namelijk het zijn van een appel.

Univalence doet iets soortgelijks, maar dan met wiskundige concepten. 

Het suggereert dat als twee dingen dezelfde essentiële structuur hebben, ze eigenlijk hetzelfde kunnen worden beschouwd. 

Denk aan een vierkant en een rechthoek. Een rechthoek is eigenlijk gewoon een speciaal geval van een vierkant waarbij de zijden verschillende lengtes hebben. 

Omdat ze dezelfde essentiële structuur delen, kunnen we zeggen dat ze in bepaalde opzichten Gelijkwaardig zijn.

Fernando Zalamea over Grothendieck

Een samenvatting van het werk van de Filosoof Fernando Zalamea die we later ook nog tegen komen.

Het origineel staat hieronder.

Het Niets van George Spencer Brown:

Documentaire

Een indrukwekkende documentaire waarin de dramatiek van zijn leven voelbaar wordt.

Levensloop

LevensFilosofie

Wiskundige Geschiedenis

Conclusie

Alhoewel het wellicht een versimpeling is van het enorm complexe gebied van de hogere ordes van de Topologie die een verhouding heeft aangegegaan met de Algebra die Grothendieck Zacht (continue functies (smooth) en Hard (getallen, tellen) noemde oftewel Tellen vs Vertellen (een gedachtenlijn volgen) bevat onderstaand plaatje (wederom) de samenvatting van deze blog.

Wiskunde en Natuurkunde en iedere andere “`wetenschap zijn een Expressie van de Menselijke Perssonlijkheid die volgens Jung kan worden beschreven met de vier Arche-Typen die voortkomen uit de basis contradictie <- . -> die lijkt op Ademen.

De vier archetypen hebben hun eigen Geometrie, hun eigen Meetschaal en hun eigen Ideologie.

Geometrie

Beweging

Shiva danst op de onwetende mens.

Natuurkunde

Reginald Cahill vond het algoritme wat ruimte maakt. Ruimte genereert nieuwe ruimte volgens een arbitrair patroon.

Bijlage

Tijd

Samenvatting

Let op: De rode links springen naar de onderdelen van deze blog waar ze over gaan.

Deze blog zoekt uit waar Alexander Grothendieck mee bezig was in zijn leven en waar al zijn briljante invallen vandaan kwamen.

Wiskundig Genie

Alexander Grothendieck wordt gezien als het Grootste Wiskunde Genie van de vorige Eeuw.

Hij was vooral erg goed in Algebraische Topologie, het gbied waarin ingewikkelde Transformaties van Vormen in de ruimte worden berekend.

Hard en Zacht:

Die vormen zijn volgens hem zacht (Smooth)ten en Continue ten opzichte van de harde Discrete vormen in de Algebra.

Kluizenaar

Grothendieck trok zich 30 jaar voor zijn dood in 2014 terug in de Pyreneen en produceerde een enorme berg getypte documenten, een enorme erfenis die nu eigenlijk pas beter wordt bekeken.

De Erfenis

wordt in dit hoofdstuk in kaart gebracht en sommige belangrijke document zijn als link opgenomen.

Visualisaties

Omdat de topologie zo’n abstract gebied is zijn een aantal visalisaties gevonden om de problematiek zichtbaar te maken.

Bespiegelingen

In overleg met GPT heb ik een aantal originele wiskundige dilosofen geraadpleegd.

Wiskundige Taal

Fe Bourbaki-groep was een groep die na Russell en Witgenstein de wiskunde opnieuw vanaf de grond wilden opbouwen.

Grothendieck deed mee maar verdween ook weer snel toen ze ruzie kregen ondertussen was er na de verzameling een grondslag gevonden in wat nu Category-theorie wordt genoemd.

Hierin worden theorien (Categorie) verbonden met functies (Functors).

Inmiddels is er door de opkomst van automatische bewijs-sytemen een link gelegd naar de taal-theorie middels de Type-theorie en wacht de wiskunde op de komst van een wiskunde-GPT.,

Van Gelijkheid naar Gelijkmaken

Als je de = gebruikt heb je erg veel werk om dat te bewijzen behalve als je links en rechts steeds hetzelfde neerzet (een tautologie).

Om meer zeggingkracht te krijgen is hier in de categorie-theorie van af geweken en is iets gelijk als je een brug(een Functor) kunt vinden tussen beide oevers (categorie).

Die brug blijkt oeneindig lang te zijn wat veer vraagtekens oproept of dit wel de bedoeling is.

De mens Grothendieck

Levensverhaal en levensfilosofie

Te onderzoeken materiaal

Deze informatie ben ik nog aan het bestuderen.

Conclusie.

Terug naar Begin

Terug naar het begin druk hier.