Jump to the Maze here.

Jump to the English Essay here.

J.Konstapel,Leiden,23-9-2026.

Inleiding

De cirkel is rond: Swarp = Swarm + Warp ontstond uit een combinatie van mijn onderzoek naar zwermen en software, waarbij ik aanvankelijk gebruikmaakte van de softwarebouw-app Replit, feitelijk een vorm van de AI Claude.

Inmiddels gebruik ik Claude rechtstreeks op mijn MacBook Air, zonder Replit, wat veel goedkoper en effectiever is omdat ik daar kan overleggen, onderzoeken, bouwen en simuleren, met zeer succesvolle resultaten.

Sinds gisteren is de Maze, een toepassing van de Vacuum.net-theorie een herformulering van de theorie van Clerk Maxwell weer terug bij Swarp.

Collective behavior in natural and synthetic systems has long been studied through the lens of alignment—the tendency of individuals to adopt the same state as their neighbors. In the Vicsek model, particles align their directions of motion, while in the Kuramoto model, oscillators synchronize their phases. In both cases, the order parameter is a measure of agreement: the length of the mean heading vector or the mean phase vector. However, recent empirical and theoretical work suggests that collective order may not always require alignment. Instead, it can emerge from local closure, a condition where neighboring elements differ but collectively form a stable, persistent configuration.

Collectief Gedrag en Closure: Een Nieuw Perspectief op Zwermen met Oneindig Veel Deeltjes

---

Inleiding: De Uitdaging van Collectief Gedrag in Grote Systemen

Stel je voor: een oneindig grote zwerm deeltjes, vogels, of agenten die samen een coherent systeem moeten vormen. Traditionele modellen, zoals het Vicsek-model of het Kuramoto-model, benaderen collectief gedrag door alignment—de neiging van individuen om dezelfde richting of fase aan te nemen als hun buren. Deze modellen zijn succesvol in het verklaren van fenomenen zoals de synchronisatie van vuurvliegjes of de georganiseerde beweging van vogelzwermen. Toch laten ze een cruciale vraag onbeantwoord: Kan collectieve orde ook ontstaan zonder alignment?

In dit essay verkennen we een alternatief mechanisme voor collectief gedrag, gebaseerd op closure—een concept afkomstig uit de knopentheorie en geïmplementeerd in een model met balanced-ternary dynamiek. We richten ons specifiek op de situatie waarin N → ∞ (een oneindig groot systeem) en onderzoeken hoe lokale interacties tussen deeltjes kunnen leiden tot persistente, gestructureerde patronen zonder dat individuen elkaar hoeven na te doen. Dit biedt niet alleen een nieuw inzicht in zwermen, maar ook in actieve materie, topologische systemen, en zelfs menselijke organisaties.

---

De Limieten van Alignment: Waarom We Een Nieuw Model Nodig Hebben

Het Vicsek-Model en Zijn Beperkingen

Het Vicsek-model (Vicsek et al., 1995) is een van de meest bestudeerde modellen voor collectief gedrag. In dit model:

• Elke deeltje heeft een snelheidsvector en past deze aan op basis van de gemiddelde richting van zijn buren, verstoord door ruis.
• Boven een bepaalde drempelwaarde voor de dichtheid of onder een bepaalde ruisniveau ontstaat spontane alignment: de deeltjes bewegen als één geordend systeem.

Hoewel dit model veel fenomenen kan verklaren, heeft het twee fundamentele beperkingen:

1. Afhankelijkheid van Imitatie: Collectieve orde ontstaat alleen als individuen elkaar kopiëren. Dit sluit andere vormen van collectief gedrag uit, zoals die gebaseerd op complementariteit (bv. verschillende rollen in een groep).
2. Metrische vs. Topologische Interacties: In het Vicsek-model interageren deeltjes binnen een vaste afstand (metrisch). Echter, empirisch onderzoek bij spreeuwen toont aan dat vogels interageren met een vast aantal buren (topologisch), ongeacht de afstand (Ballerini et al., 2008).

Empirische Waarnemingen: Topologische Interacties en Langereikse Correlaties

Uit veldstudies bij spreeuwen (Ballerini et al., 2008; Cavagna et al., 2010) blijkt:

• Elke vogel interacteert met ongeveer 6-7 buren, ongeacht de afstand tussen hen.
• Correlaties in snelheidsfluctuaties strekken zich uit over de hele zwerm, wat suggereert dat de zwerm zich gedraagt als een enkel verbonden systeem in plaats van een verzameling van geïsoleerde, aligned individuen.

Deze waarnemingen wijzen op een topologische structuur in zwermen, waar lokale interacties niet afhangen van afstand, maar van connectiviteit. Dit is precies waar het Vacuum.Net framework en het closure-model om de hoek kijken.

---

Het Vacuum.Net Framework: Strand, Kruispunten en Triten

De Elementaire Bouwstenen

Het Vacuum.Net framework (Konstapel, 2026) stelt voor dat collectieve systemen het beste kunnen worden gemodelleerd als een strand—een continue, zelfdoorsnijdende path—waarin de elementaire eenheid een kruispunt is. In dit kader:

• Een strand is een gesloten lus van N posities (sites), waar N naar oneindig kan gaan.
• Elke positie i draagt een trit T_i ∈ {-1, 0, +1}, een balanced-ternary toestand.
• Een venster W_i = (T_{i-1}, T_i, T_{i+1}) representeren een lokaal kruispunt van drie opeenvolgende posities.

Waarom Triten?

Het gebruik van balanced ternary (-1, 0, +1) in plaats van binaire toestanden (0, 1) of standaard ternary (0, 1, 2) heeft verschillende voordelen:

1. Symmetrie: Het systeem is symmetrisch rond 0, wat natuurlijk past bij oppositie (bv. links/rechts) en neutraliteit (0).
2. Modulo 3 Rekenen: De som van drie trits kan 0 modulo 3 zijn, wat de basis vormt voor de closure-voorwaarde.
3. Topologische Interpretatie: De drie toestanden correspondere met de drie kleuren in Fox’s tricolouring uit de knopentheorie.

---

Closure: Een Alternatief voor Alignment

Definitie van Closure

Een venster W_i is gesloten als:
T_{i-1} + T_i + T_{i+1} ≡ 0 (mod 3).

Deze voorwaarde is niet willekeurig—het is precies Fox’s tricolouring-voorwaarde uit de knopentheorie (Crowell & Fox, 1963). In de context van zwermen betekent dit:

• Een kruispunt is gesloten als de drie deeltjes in het venster een volledige, stabiele configuratie vormen, waar de som van hun toestanden 0 is.

Er zijn twee soorten gesloten vensters:

1. Homogene Closure: Alle drie trits zijn gelijk en niet-nul (bv. (+1, +1, +1) of (-1, -1, -1)).
   • Dit correspondeert met triviale kleuring in de knopentheorie.
2. Heterogene Closure: Alle drie trits zijn verschillend (bv. (-1, 0, +1)).
   • Dit correspondeert met niet-triviale kleuring in de knopentheorie.

Waarom is Closure Belangrijk?

Closure biedt een alternatief mechanisme voor collectieve orde:

• Alignment meet overeenstemming tussen buren (bv. “alle deeltjes bewegen in dezelfde richting”).
• Closure meet complementariteit (bv. “drie deeltjes hebben verschillende rollen die elkaar aanvullen”).

In een oneindig groot systeem (N → ∞) kan closure leiden tot:

• Lokale stabiliteit: Gesloten kruispunten zijn vaste punten van de dynamiek (Propositie 3).
• Globale structuur: Als lokale kruispunten gesloten zijn, kan het hele systeem een coherent patroon vormen zonder dat individuen elkaar hoeven na te doen.

---

Lokale Dynamiek: Hoe Werkt het in een Oneindig Systeem?

Update-Regels

In elk tijdstap wordt elke positie i met kans p geselecteerd voor een update. Als geselecteerd, wordt T_i aangepast volgens één van de volgende regels:

Regel	Update-Voorschrift	Effect in een Oneindig Systeem
Closure	T_i ← bal(-(T_{i-1} + T_{i+1}))	Dwingt lokale closure af. Gesloten kruispunten blijven stabiel totdat een buur of ruis ze verstoort.
Copy	T_i ← T_{i-1} of T_{i+1} (50/50)	Kopieert een buur. Kan geen heterogene closure creëren (Propositie 5).
Sum	T_i ← bal(T_{i-1} + T_{i+1})	Controle-regel. Produceert geen closure boven kansniveau.

Ruis en Asynchronie

Na elke update wordt ruis toegevoegd: elke positie wordt met kans η vervangen door een willekeurige trit. Daarnaast is de update-snelheid p cruciaal:

• Synchrone Updates (p = 1): Alle posities updaten tegelijk. In een oneindig systeem leidt dit tot geen closure boven kansniveau (Propositie 6), omdat buren tegelijk veranderen.
• Asynchrone Updates (p < 1): Slechts een fractie van de posities update per tijdstap. Dit is essentieel voor closure, omdat het toestaat dat een kruispunt gesloten wordt terwijl zijn buren stabiel blijven.

Optimaal Update-Regime

Uit Propositie 7 blijkt dat de kans op een geïsoleerde update (waarin i update maar i-1 en i+1 niet) gegeven wordt door:
ρ(p) = p(1 – p)^2.

Deze functie heeft een maximum bij p = 1/3, wat betekent dat in een oneindig systeem:

• Te lage p: Te weinig updates om open kruispunten te sluiten.
• Te hoge p: Buren updaten tegelijk, wat closure ondoet.
• Optimaal p ≈ 1/3: Balans tussen updates en stabiliteit.

---

Collectieve Orde in een Oneindig Systeem: Simulaties en Theoretische Resultaten

Meetbare Grootheden

In een oneindig systeem met N → ∞ meten we de volgende grootheden in de stationaire toestand (na voldoende tijdstappen):

1. Alignment (R):
   • Fraction van aangrenzende paren met gelijke trits.
   • Kansniveau: R_0 = 1/3 (voor willekeurige, onafhankelijke trits).
2. Closure (C):
   • Fraction van vensters die gesloten zijn (rust uitgesloten).
   • Kansniveau: C_0 = 8/27 ≈ 0.296.
   • Onderdelen:
     • C_het: Heterogene closure (6/27 ≈ 0.222).
     • C_hom: Homogene closure (2/27 ≈ 0.074).
3. Levensduur (τ):
   • Gemiddeld aantal tijdstappen dat een gesloten venster onveranderd blijft.

Resultaten voor N → ∞

Uit simulaties en theoretische analyse (Konstapel, 2026) blijkt:

Regel	C (Closure)	R (Alignment)	C_het (Heterogeen)	Levensduur (τ)
Closure	↑ 0.456 (+54%)	= 1/3	= 0.222	↑ 1.5-1.6×
Copy	↓ 0.016 (-94%)	↑ 0.78	↓↓ 0.016	≈ kansniveau
Sum	≈ 0.276	≈ 1/3	≈ 0.200	≈ kansniveau

Interpretatie:

1. Closure-Regel:
   • Verhoogt C tot 0.456 (54% boven kansniveau).
   • R blijft exact op 1/3 (geen excessieve alignment).
   • Gesloten kruispunten leven 1.5-1.6× langer dan onder de null-regel.
   • Verhouding C_het / C_hom = 3:1 (kansniveau).
2. Copy-Regel:
   • Verhoogt R tot 0.78 (sterke alignment).
   • C_het daalt tot 0.016 (14× onder kansniveau).
   • Implicatie: Alignment onderdrukt niet-triviale closure.
3. Sum-Regel:
   • Produceert geen closure boven kansniveau, wat aantoont dat lokale arithmetic alleen niet voldoende is.

---

Mean-Field Theorie: Voorspellen van Stationaire Closure

Benadering voor N → ∞

In een oneindig systeem kunnen we de stationaire closure C benaderen met mean-field theorie. We beschouwen drie gebeurtenissen voor een venster W_i:

Gebeurtenis	Probabiliteit	Effect
E_0: Niets gebeurt	q_0 = (1 – p)^3 (1 – η)^3	Venster blijft onveranderd.
E_1: Geïsoleerde update	q_1 = p(1 – p)^2 (1 – η)^3	Venster wordt gesloten met kans a = 8/9.
E_2: Overig	q_2 = 1 – q_0 – q_1	Venster wordt gerandomiseerd (gesloten met kans b = C_0 = 8/27).

De stationaire closure C* voldoet aan:
C = (q_1 a + q_2 b) / (q_1 + q_2)*.

Limieten en Numerieke Resultaten

1. Hoge Ruis (η → 1):
   • C ≈ b + (a – b) k p(1 – p)^2, waar k = (1 – η)^3.
   • Optimum bij p = 1/3.
2. Lage Ruis (η → 0):
   • C → (a + 2b)/3 ≈ 0.494.
   • Optimum beweegt naar p → 0.

Ruis (η)	0.01	0.1	0.2	0.3	0.5	0.8
Optimaal p*	0.088	0.216	0.266	0.293	0.320	0.332
Max C*	0.456	0.385	0.351	0.330	0.308	0.297

Implicaties voor N → ∞

• Asynchronie is essentieel: Closure is maximaal als p ≈ 1/3, waar een minderheid van de posities update terwijl de rest stabiel blijft.
• **R

English Essay

This essay explores a novel framework for understanding collective order, one that moves beyond alignment to embrace closure as a distinct and equally significant form of organization. The framework is grounded in knot theory, specifically Fox’s tricolouring condition, and is realized through a minimal model of balanced-ternary dynamics on a strand of crossings. The model demonstrates that closure and alignment are not only distinct but can be mutually exclusive, offering a new perspective on the structure of swarms, active matter, and even human groups.

---

The Limits of Alignment

The standard models of collective motion—Vicsek, Kuramoto, and their variants—rely on alignment as the primary mechanism for order. In the Vicsek model, self-propelled particles adopt the mean heading of their neighbors, perturbed by noise. Above a critical density or below a critical noise threshold, the group moves as one, exhibiting long-range order. Similarly, in the Kuramoto model, coupled oscillators synchronize their phases, leading to a coherent state where a fraction of the oscillators lock together. In both cases, the order parameter is a measure of agreement: the polarization in Vicsek or the phase coherence in Kuramoto.

While these models have been highly successful in explaining a wide range of phenomena—from the synchronized flashing of fireflies to the coordinated movement of bird flocks—they assume that collective order arises from imitation or agreement. However, this assumption may not capture the full spectrum of collective behavior. For instance, field measurements on starling flocks have revealed that each bird interacts with a fixed number of neighbors, regardless of metric distance, suggesting a topological rather than a metric interaction (Ballerini et al., 2008). Furthermore, correlations in velocity fluctuations extend across the entire flock, implying that the flock behaves as a single connected structure rather than a sum of aligned individuals (Cavagna et al., 2010).

These observations point to a gap in the alignment-based framework: Is there a form of collective order that does not rely on agreement? Can neighbors differ while still forming a persistent, stable configuration?

---

A New Framework: Closure as Collective Order

To address this question, we turn to the Vacuum.Net framework, which proposes that the elementary structure of collective systems is a strand—a continuous, self-intersecting path—and that the elementary event is the crossing of this strand. Each crossing carries one of three relational states, represented in balanced ternary as -1, 0, or +1. A configuration is said to close when the sum of the states at a crossing is zero modulo 3. This condition is not arbitrary; it is precisely Fox’s tricolouring condition from knot theory (Crowell & Fox, 1963; Kauffman, 1991; Przytycki, 1998).

In knot theory, a 3-colouring is an assignment of one of three colors to each arc of a knot diagram such that at every crossing, either all three arcs have the same color (trivial colouring) or all three arcs have different colors (non-trivial colouring). Fox’s condition ensures that the coloring is consistent across the entire knot, and the existence of a non-trivial 3-colouring is a topological invariant that can distinguish, for example, the trefoil knot from the unknot. In our model, closure corresponds to Fox’s condition: a crossing is closed if the sum of its three states is zero modulo 3. This can happen in two ways:

1. Homogeneous closure: All three states are equal and non-zero (e.g., (+1, +1, +1) or (-1, -1, -1)). This corresponds to the trivial colouring in knot theory.
2. Heterogeneous closure: The three states are all different (e.g., a permutation of (-1, 0, +1)). This corresponds to the non-trivial colouring.

---

The Model: Balanced-Ternary Dynamics on a Strand

The model consists of a ring of N sites, each carrying a trit (a balanced-ternary state: -1, 0, or +1). Each site i is the center of a window W_i, which includes the trits at sites i-1, i, and i+1. A window is closed if the sum of its three trits is zero modulo 3. The model explores three local update rules:

1. Closure Rule: The center trit T_i is updated to the value that closes its window, i.e., T_i = bal(-(T_{i-1} + T_{i+1})), where bal is the balanced representative modulo 3.
2. Copy Rule: The center trit T_i adopts the state of one of its neighbors (left or right) with equal probability. This is the ternary analogue of the Vicsek alignment rule.
3. Sum Rule: The center trit T_i is updated to bal(T_{i-1} + T_{i+1}). This serves as a control, using the same neighbors and arithmetic as the closure rule but with the opposite sign.

Additionally, a null rule is considered, where each selected site is replaced by a uniform random trit. After each update, noise is introduced: each site is independently replaced by a uniform random trit with probability η.

---

Key Results: Closure and Alignment as Distinct Order Parameters

The model yields several exact results that highlight the distinction between closure and alignment:

1. Closure as Fox Tricolouring: The closure condition is equivalent to Fox’s tricolouring condition. A window is closed if and only if it is either homogeneous (all three trits equal) or heterogeneous (all three trits different).
2. Closure Rule Creates No Excess Alignment: Under the closure rule, a closed crossing is a fixed point of its own update. If a window is already closed, updating its center trit leaves it unchanged. Furthermore, the closure rule does not favor alignment: the probability that the center trit matches either neighbor after an update is exactly 1/3, the chance level.
3. Copy Rule Suppresses Non-Trivial Closure: Under the copy rule, a window can only be closed if it is homogeneous or at rest. It can never produce a heterogeneously closed window. Thus, alignment dynamics (imitation) suppresses non-trivial closure.
4. Synchronous Updating Cannot Raise Closure Above Chance: When all sites update simultaneously (p = 1), the closure level remains at chance (1/3 for each window). Closure requires asynchrony: it is maximal when a minority of sites update per step, at a rate that rises with noise and never exceeds one-third.

---

Simulations: Closure and Alignment in Practice

Simulations with up to 2,000 crossings confirm these results:

• Under the closure rule, closure rises from 0.296 (chance) to 0.456, while alignment remains exactly at 1/3. The ratio of heterogeneous to homogeneous closure stays at 3:1, the chance ratio.
• Under the copy rule, alignment rises to 0.78, while heterogeneous closure falls to 0.016—fourteen times below chance. Homogeneous closure rises to 0.42 because aligned stretches are trivially colored.
• Closed configurations live longer: Under the closure rule, closed windows persist 1.5 to 1.6 times longer than under the null rule. This is because a closed crossing is a fixed point of its own update and only changes when a neighbor or noise affects it.

---

Implications for Swarms and Active Matter

The results have profound implications for our understanding of collective behavior:

1. Two Distinct Order Parameters: Alignment (R) measures agreement between neighbors, while closure (C) measures the completion of a crossing by difference. The two are not only distinct but can be mutually exclusive. A system can exhibit high closure without any alignment, and vice versa.
2. Topological Persistence: Heterogeneously closed crossings are fixed points of their own dynamics. They persist because of their topological properties, not because of any energy minimum. This is analogous to the persistence of topological defects in active nematics, which are protected by their topological charge (Marchetti et al., 2013; Shankar et al., 2022; Doostmohammadi et al., 2018).
3. Asynchrony is Key: Closure is maximal when updates are asynchronous. At full synchrony (p = 1), closure is lost because neighbors update simultaneously, undoing each other’s closure. This aligns with observations in real swarms, where flocks turn in waves that travel through the group rather than all at once (Ballerini et al., 2008; Cavagna et al., 2010).

---

Broader Implications: From Swarms to Human Groups

The distinction between closure and alignment is not limited to physical or biological systems. It also offers insights into human groups. A working group does not persist because its members think alike; it persists because each member fills a role that the others leave open. Closure, in this sense, is the complementarity of roles, while alignment is the uniformity of thought. The model suggests that groups in which everyone reacts at once or everyone copies the others may lose the very structure that allows them to function effectively.

---

Connection to the Vacuum.Net Framework

The Vacuum.Net framework posits that the elementary state of a collective system is a trit at a crossing, and that persistence arises from closure. The model presented here provides a precise realization of these claims:

1. Elementary State: Each window is a crossing with three arcs, each carrying a balanced-ternary state.
2. Persistence as Closure: A closed crossing is a fixed point of its own dynamics, and closed crossings outlive open ones by a factor of ~1.5.
3. Closure Needs a Window: Closure is maximal in an intermediate range of update rates, bounded by noise below and simultaneity above.

The closure condition itself is not new to knot theory—it is Fox’s condition. However, its application to collective systems as a second order parameter is a novel contribution.

---

Future Directions

The model is one-dimensional, with fixed sites and a simple closure rule. Several extensions are possible:

1. Two-Dimensional Lattice: In a 2D lattice, each site could belong to multiple crossings, introducing frustration as the closure rule must satisfy multiple windows simultaneously.
2. Moving Agents: Agents could carry both a trit and a position, with crossings formed by topological neighbors. This would allow R (alignment) to be measured alongside C (closure).
3. Experimental Observables: In real swarms or schools, a trit could represent the sign of each member’s turning relative to its neighbors. A crossing of three members would be closed if their turns sum to zero modulo 3. Proposition 1 provides a direct test: count homogeneous and heterogeneous closed triples against their chance levels (0.074 and 0.222, respectively).

---

Conclusion

Collective order is not solely about agreement. On a strand of balanced-ternary crossings, local closure—realized through Fox’s tricolouring condition—offers a distinct and equally valid form of organization. The closure rule produces closure 54% above chance while leaving alignment exactly at chance. In contrast, the copy rule (imitation) produces alignment but suppresses non-trivial closure to one-fourteenth of chance. Closed crossings are fixed points of their own dynamics and live ~1.5 times longer than open ones. Closure requires asynchrony: it is maximal when a minority of sites update per step, at a rate that rises with noise and never exceeds one-third.

The Vacuum.Net framework’s persistence claim thus finds an exact, elementary realization. It connects to knot theory through tricolouring and to swarm physics as a second order parameter, alongside alignment. This duality enriches our understanding of collective behavior, offering new avenues for research in physics, biology, and the social sciences.

---

Annotated References

1. Vicsek, T., Czirók, A., Ben-Jacob, E., Cohen, I., & Shochet, O. (1995). Novel type of phase transition in a system of self-driven particles. Physical Review Letters, 75, 1226–1229.
   • Why read it? The foundational model of collective motion, where particles align their directions of motion. The copy rule in this essay is its ternary counterpart.
2. Toner, J., & Tu, Y. (1995). Long-range order in a two-dimensional dynamical XY model: how birds fly together. Physical Review Letters, 75, 4326–4329.
   • Why read it? Provides a hydrodynamic theory for the Vicsek model, showing how alignment can be long-ranged in moving systems.
3. Kuramoto, Y. (1984). Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. Springer.
   • Why read it? Introduces the phase-coupling model and the order parameter r. The alignment observable R in this essay is its discrete analogue.
4. Acebrón, J. A., Bonilla, L. L., Pérez Vicente, C. J., Ritort, F., & Spigler, R. (2005). The Kuramoto model: a simple paradigm for synchronization phenomena. Reviews of Modern Physics, 77, 137–185.
   • Why read it? A comprehensive review of synchronization as collective order. Sections II and III are particularly relevant for comparisons to this work.
5. Ballerini, M., et al. (2008). Interaction ruling animal collective behavior depends on topological rather than metric distance: evidence from a field study. PNAS, 105, 1232–1237.
   • Why read it? Empirical evidence that starlings interact with a fixed number of neighbors, supporting the topological interpretation of swarms.
6. Cavagna, A., et al. (2010). Scale-free correlations in starling flocks. PNAS, 107, 11865–11870.
   • Why read it? Shows that velocity fluctuations are correlated across entire flocks, regardless of size. Read alongside Ballerini et al. (2008) for a complete empirical basis.
7. Marchetti, M. C., Joanny, J.-F., Ramaswamy, S., Liverpool, T. B., Prost, J., Rao, M., & Simha, R. A. (2013). Hydrodynamics of soft active matter. Reviews of Modern Physics, 85, 1143–1189.
   • Why read it? The standard review of active matter, placing swarms in a broader physical context.
8. Shankar, S., Souslov, A., Bowick, M. J., Marchetti, M. C., & Vitelli, V. (2022). Topological active matter. Nature Reviews Physics, 4, 380–398.
   • Why read it? Explores how topology protects structures in active systems, providing a counterpart to closure as persistence.
9. Doostmohammadi, A., Ignés-Mullol, J., Yeomans, J. M., & Sagués, F. (2018). Active nematics. Nature Communications, 9, 3246.
   • Why read it? Describes defects in active nematics that are created, transported, and annihilated by flow, offering a parallel to closed crossings.
10. Crowell, R. H., & Fox, R. H. (1963/1977). Introduction to Knot Theory. Ginn; reprinted as Graduate Texts in Mathematics 57, Springer.
    • Why read it? The source of Fox colourings. The closure condition in this essay is Fox’s condition at a crossing.
11. Kauffman, L. H. (1991). Knots and Physics. World Scientific.
    • Why read it? Treats colourings as the simplest knot invariants and connects knot theory to physics. The early chapters on colouring are sufficient to understand Proposition 1.
12. Przytycki, J. H. (1998). 3-coloring and other elementary invariants of knots. Banach Center Publications, 42, 275–295.
    • Why read it? Collects known results about tricolourability and demonstrates how a modulo-3 condition carries topological information.
13. Martin, O., Odlyzko, A. M., & Wolfram, S. (1984). Algebraic properties of cellular automata. Communications in Mathematical Physics, 93, 219–258.
    • Why read it? Analyzes linear cellular automata, the class to which the closure rule belongs, and provides tools for extending Proposition 6.
14. Schönfisch, B., & de Roos, A. (1999). Synchronous and asynchronous updating in cellular automata. BioSystems, 51, 123–143.
    • Why read it? Demonstrates how update order qualitatively changes the behavior of cellular automata, supporting the findings in Section 4.
15. Holley, R. A., & Liggett, T. M. (1975). Ergodic theorems for weakly interacting infinite systems and the voter model. Annals of Probability, 3, 643–663.
    • Why read it? Introduces the voter model, which is the copy rule in this essay, and explains why imitation leads to coarsening into aligned domains.
16. Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms (3rd ed.). Addison-Wesley, §4.1.
    • Why read it? Presents balanced ternary and its symmetries, which are essential for understanding the mirror symmetry in Proposition 4.
17. Konstapel, J. (2026). Vacuum.Net foundational paper, edition 6, Part II “The Ternary Ground.” Constable Research, Leiden.
    • Why read it? Introduces the Vacuum.Net framework, which underpins this essay, and provides the argument for three states from radix economy.